Calcule as seguintes derivadas:
(g) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right) \cdot \cos \left(e^{x}\right) ? (Dica: Use ambas as regras, a do produto e a da cadeia).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,\cos\bigl(e^{x}\bigr).
Aqui vamos usar duas ferramentas: a regra do produto (para derivar o produto de duas funções) e a regra da cadeia (para derivar funções compostas como \sin(e^x) e \cos(e^x)).

Passo 2

Pela regra do produto, se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
No nosso caso,
u(x)=\sin\bigl(e^{x}\bigr), \quad v(x)=\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para encontrar u'(x) e v'(x):
– Para u(x)=\sin\bigl(e^{x}\bigr),
u'(x)=\cos\bigl(e^{x}\bigr)\,\bigl(e^{x}\bigr)' = \cos\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}.
– Para v(x)=\cos\bigl(e^{x}\bigr),
v'(x)=-\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,\bigl(e^{x}\bigr)' = -\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do produto, obtemos
f'(x) =\bigl[\cos\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}\bigr]\;\cos\bigl(e^{x}\bigr) +\sin\bigl(e^{x}\bigr)\;\bigl[-\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}\bigr].
Ou seja,
f'(x) =e^{x}\,\cos^{2}\bigl(e^{x}\bigr) -e^{x}\,\sin^{2}\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 5

Fatorando e^{x} e usando a identidade trigonométrica
\cos^{2}u-\sin^{2}u=\cos(2u),
com u=e^{x}, segue
f'(x) =e^{x}\bigl[\cos^{2}(e^{x})-\sin^{2}(e^{x})\bigr] =e^{x}\,\cos\bigl(2e^{x}\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\,\cos\bigl(2e^{x}\bigr).

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