Calcule as seguintes derivadas:
f) d/dx ((x^3 + 3)^4 (x^2 + 2)^5)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de . Aqui, estamos lidando com funções polinomiais elevadas a potências, então vamos precisar usar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto, que nos diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro multiplicada pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo. Matematicamente, se e são funções de , então:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos começar calculando . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Se temos , então:
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular também usando a Regra da Cadeia. Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto, substituímos e na fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Podemos fatorar termos comuns para simplificar a expressão. Observamos que ambos os termos têm , , e como fatores comuns:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados