Calcule as seguintes derivadas:
p) d/dx ln(ln(ln(x^2)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de . Isso envolve derivadas de funções compostas usando a regra da cadeia, além das propriedades dos logaritmos. Vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos logaritmos. Temos x^2 dentro do primeiro ln. Sabemos que , então podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de . Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Primeiro, derivamos a função externa , onde . A derivada de em relação a u é . Então:

Passo 5

Agora, precisamos derivar . Aplicando novamente a regra da cadeia, temos:

Passo 6

Derivando em relação a x, obtemos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 8

Agora, substituímos essa derivada na expressão original de :

Passo 9

Simplificando, temos:

Resposta

A derivada de é:

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