Calcule as seguintes derivadas:
p)
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de
. Isso envolve derivadas de funções compostas usando a regra da cadeia, além das propriedades dos logaritmos. Vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos logaritmos. Temos
dentro do primeiro
. Sabemos que
, então podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Primeiro, derivamos a função externa
, onde
. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, precisamos derivar
. Aplicando novamente a regra da cadeia, temos:
Passo 6
Derivando
em relação a
, obtemos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 8
Agora, substituímos essa derivada na expressão original de
:
Passo 9
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada de
é: