1. Uma horta ocupa uma área quadrada com lado medindo x metros. Para aumentar a produção de verduras e legumes, a horta será ampliada; nesta ampliação, haverá aumento tanto no comprimento quanto na largura, fazendo com que sua área passe a ser descrita pelo polinômio A(x)=x^{2}-10 x+16, onde A(x) e a área da horta e x e a medida do lado da horta original. Desta forma, podemos afirmar que os aumentos no comprimento e largura foram de
    a) 2 m e 4 m .
    b) 1 m e 8 m .
    c) 2 m e 8 m .
    d) 2 m e 16 m .
    e) 10 m e 16 m .

Passo 1

O enunciado diz que a horta original é um quadrado de lado \,x metros, logo área original x^2. Após a ampliação, a nova área é
A(x)=x^{2}-10x+16.
O que precisamos é descobrir de quanto aumentaram o comprimento e a largura, ou seja, achar dois números p e q tais que
(x+p)(x+q)=x^{2}-10x+16.

Passo 2

Vamos usar a expansão de produto de binômios:
(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)\,x+pq.
Comparando com x^{2}-10x+16, obtemos o sistema
\begin{cases} p+q=-10,\\\ pq=16. \end{cases}

Passo 3

Para resolver
\begin{cases} p+q=-10,\\\ pq=16, \end{cases}
podemos ver que p e q são raízes da equação
t^{2}-(p+q)\,t+pq=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}+10t+16=0.

Passo 4

Fatorando
t^{2}+10t+16=(t+2)(t+8)=0,
temos as soluções
t=-2 \quad\text{e}\quad t=-8.
Logo (p,q)=(-2,-8) ou (-8,-2).

Passo 5

Os valores de p e q são negativos porque escrevemos (x+p) e (x+q), mas a pergunta pede as “dimensões de aumento” em módulo. Assim, os aumentos foram de 2 m e 8 m.

Resposta

c) 2 m e 8 m.

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