Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\cos \left(\operatorname{cotan}\left(\frac{1}{x}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos\!\big(\operatorname{cotan}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\big).
Informações dadas (úteis para a resolução):
\;f é uma composição de três funções: a função \cos aplicada à \operatorname{cotan}, que por sua vez é aplicada à função \tfrac{1}{x}.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia (cadeia de composições). Eu explico a regra da cadeia de forma bem direta: se y=F(G(x)), então
\frac{dy}{dx}=F'(G(x))\cdot G'(x).
Aqui cada letra representa: F é a função externa, G é a função interna; F'(G(x)) é a derivada de F avaliada em G(x) e multiplica a derivada de G. A ideia é “derivar de fora para dentro” e em cada passo multiplicar pela derivada da camada interna.

Passo 3

Identificamos as camadas da composição:
\text{camada externa: }F(u)=\cos(u), \qquad \text{camada do meio: }G(v)=\operatorname{cotan}(v), \qquad \text{camada interna: }H(x)=\tfrac{1}{x}.
Para aplicar a cadeia, vamos derivar cada camada separadamente.

Passo 4

Derivada da camada externa: para F(u)=\cos(u) vale a fórmula
F'(u)= -\sin(u).
Explicando: a derivada do cosseno é o negativo do seno; aqui u é a variável genérica (vai virar \operatorname{cotan}(\tfrac{1}{x}) depois).

Passo 5

Derivada da camada do meio: para G(v)=\operatorname{cotan}(v) (cotangente) a fórmula é
G'(v)= -\csc^2(v),
onde \csc(v) é a cosecante e significa \csc(v)=\dfrac{1}{\sin(v)}. Então \csc^2(v)=\dfrac{1}{\sin^2(v)}.
Explicando: a derivada da cotangente traz um sinal negativo e o quadrado da cosecante.

Passo 6

Derivada da camada interna: para H(x)=\tfrac{1}{x} podemos reescrever H(x)=x^{-1}. Assim
H'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.
Explicando: potência regra d(x^n)/dx = n x^{n-1} com n=-1.

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as três derivações. Primeiro monte a expressão simbólica:
f'(x)=F'(G(H(x)))\cdot G'(H(x))\cdot H'(x).
Substituindo as fórmulas que achamos:
f'(x)=\big(-\sin(\operatorname{cotan}(\tfrac{1}{x}))\big)\cdot\big(-\csc^2(\tfrac{1}{x})\big)\cdot\big(-\tfrac{1}{x^2}\big).
Agora verificamos os sinais: multiplicamos três fatores com sinal negativo, então o produto dos sinais é negativo (porque (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1). Podemos simplificar os sinais e organizar:
f'(x) = -\,\frac{\sin(\operatorname{cotan}(\tfrac{1}{x}))\;\csc^2(\tfrac{1}{x})}{x^2}.

Passo 8

Podemos também escrever \csc^2(\tfrac{1}{x}) como \dfrac{1}{\sin^2(\tfrac{1}{x})} se preferir uma forma sem \csc. Assim uma forma equivalente é
f'(x) = -\,\frac{\sin(\operatorname{cotan}(\tfrac{1}{x}))}{x^2\,\sin^2(\tfrac{1}{x})}.
Ambas as expressões são idênticas; escolha a que achar mais clara na prova.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{\sin\!\big(\operatorname{cotan}(\tfrac{1}{x})\big)\,\csc^{2}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)}{x^{2}}

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