Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas (úteis para a resolução):
é uma composição de três funções: a função
aplicada à
, que por sua vez é aplicada à função
.
A tarefa é encontrar , a derivada de
em função de
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia (cadeia de composições). Eu explico a regra da cadeia de forma bem direta: se
, então
Aqui cada letra representa:
é a função externa,
é a função interna;
é a derivada de
avaliada em
e multiplica a derivada de
. A ideia é “derivar de fora para dentro” e em cada passo multiplicar pela derivada da camada interna.
Passo 3
Identificamos as camadas da composição:
Para aplicar a cadeia, vamos derivar cada camada separadamente.
Passo 4
Derivada da camada externa: para
vale a fórmula
Explicando: a derivada do cosseno é o negativo do seno; aqui
é a variável genérica (vai virar
depois).
Passo 5
Derivada da camada do meio: para
(cotangente) a fórmula é
onde
é a cosecante e significa
. Então
.
Explicando: a derivada da cotangente traz um sinal negativo e o quadrado da cosecante.
Explicando: a derivada da cotangente traz um sinal negativo e o quadrado da cosecante.
Passo 6
Derivada da camada interna: para
podemos reescrever
. Assim
Explicando: potência regra
com
.
Passo 7
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando as três derivações. Primeiro monte a expressão simbólica:
Substituindo as fórmulas que achamos:
Agora verificamos os sinais: multiplicamos três fatores com sinal negativo, então o produto dos sinais é negativo (porque
). Podemos simplificar os sinais e organizar:
Passo 8
Podemos também escrever
como
se preferir uma forma sem
. Assim uma forma equivalente é
Ambas as expressões são idênticas; escolha a que achar mais clara na prova.