Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações dadas:
-
e são constantes (podem ser quaisquer números reais; atenção: na expressão final precisaremos que o denominador não seja zero). -
e são expoentes (constantes). - A variável é
.
A única pergunta é: encontrar, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos organizar a notação para aplicar a regra de derivação apropriada. Defino:
de modo que
Uma regra prática para derivar quocientes é a regra do quociente: se
então
Explico rápido por que isso faz sentido: imagine que
e
mudam com
; o numerador combina a contribuição da variação do numerador e do denominador de forma que se pareça com a derivada da razão (é análogo à regra do produto, mas ajustado para divisão). Não vamos derivar a fórmula inteira aqui, vou usá-la diretamente e calcular
e
.
Passo 3
Calcular
. Lembremos a regra de potência: se
com
constante, então
Além disso, derivada de constante é zero e derivada de constante vezes função é a constante vezes a derivada. Aplicando isso em
:
- a é constante então sua derivada é
, -
é constante, então a derivada de é vezes a derivada de , isto é .
Portanto
Passo 4
Calcular
. Com a mesma lógica,
:
- derivada de
é , - derivada de
é vezes a derivada de , isto é .
Logo
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Essa é uma forma direta, mas vamos expandir e simplificar o numerador para ter uma expressão mais clara.
Passo 6
Expansão do numerador passo a passo. Primeiro multiplicamos termo a termo:
Termos vindos do primeiro produto:
Termos vindos do segundo produto (note o sinal menos fora do parêntese e o sinal negativo em
, então fica +):
Agora expandindo esse:
Somando todos os termos do numerador:
Passo 7
Combinar termos semelhantes. Observe que os dois termos com
têm coeficientes
e
, então juntos viram
. Assim o numerador simplificado é
Portanto a derivada fica
Passo 8
Podemos ainda factorar um
se quisermos uma aparência levemente mais compacta:
ou fatorar
nos dois primeiros termos:
Escolha a forma que achar mais clara na prova. Lembre-se de que a derivada só está bem definida onde o denominador original
é diferente de zero.