Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{a+b x^{m}}{a-b x^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{a+b x^{m}}{a-b x^{n}}.
Informações dadas:
  • a e b são constantes (podem ser quaisquer números reais; atenção: na expressão final precisaremos que o denominador não seja zero).
  • m e n são expoentes (constantes).
  • A variável é x.
    A única pergunta é: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos organizar a notação para aplicar a regra de derivação apropriada. Defino:
u(x)=a+b x^{m},\qquad v(x)=a-b x^{n},
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
Uma regra prática para derivar quocientes é a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explico rápido por que isso faz sentido: imagine que u e v mudam com x; o numerador combina a contribuição da variação do numerador e do denominador de forma que se pareça com a derivada da razão (é análogo à regra do produto, mas ajustado para divisão). Não vamos derivar a fórmula inteira aqui, vou usá-la diretamente e calcular u' e v'.

Passo 3

Calcular u'(x). Lembremos a regra de potência: se g(x)=x^{k} com k constante, então
g'(x)=k x^{k-1}.
Além disso, derivada de constante é zero e derivada de constante vezes função é a constante vezes a derivada. Aplicando isso em u(x)=a+b x^{m}:
  • a é constante então sua derivada é 0,
  • b é constante, então a derivada de b x^{m} é b vezes a derivada de x^{m}, isto é b\cdot m x^{m-1}.
    Portanto
u'(x)=b m x^{m-1}.

Passo 4

Calcular v'(x). Com a mesma lógica, v(x)=a-b x^{n}:
  • derivada de a é 0,
  • derivada de -b x^{n} é -b vezes a derivada de x^{n}, isto é -b\cdot n x^{n-1}.
    Logo
v'(x)=-b n x^{n-1}.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=\frac{(b m x^{m-1})(a-b x^{n})-(a+b x^{m})(-b n x^{n-1})}{(a-b x^{n})^{2}}.
Essa é uma forma direta, mas vamos expandir e simplificar o numerador para ter uma expressão mais clara.

Passo 6

Expansão do numerador passo a passo. Primeiro multiplicamos termo a termo:
Termos vindos do primeiro produto:
(b m x^{m-1})\cdot a = a b m x^{m-1},
(b m x^{m-1})\cdot(-b x^{n}) = -b^{2} m x^{m-1+n} = -b^{2} m x^{m+n-1}.
Termos vindos do segundo produto (note o sinal menos fora do parêntese e o sinal negativo em v', então fica +):
-(a+b x^{m})(-b n x^{n-1}) = +(a+b x^{m}) (b n x^{n-1}).
Agora expandindo esse:
(a)(b n x^{n-1}) = a b n x^{n-1},
(b x^{m})(b n x^{n-1}) = b^{2} n x^{m+n-1}.
Somando todos os termos do numerador:
\text{num} = a b m x^{m-1} - b^{2} m x^{m+n-1} + a b n x^{n-1} + b^{2} n x^{m+n-1}.

Passo 7

Combinar termos semelhantes. Observe que os dois termos com b^{2} x^{m+n-1} têm coeficientes -m e +n, então juntos viram b^{2}(n-m)x^{m+n-1}. Assim o numerador simplificado é
a b m x^{m-1} + a b n x^{n-1} + b^{2}(n-m) x^{m+n-1}.
Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{a b m x^{m-1} + a b n x^{n-1} + b^{2}(n-m) x^{m+n-1}}{(a-b x^{n})^{2}}.

Passo 8

Podemos ainda factorar um b se quisermos uma aparência levemente mais compacta:
f'(x)=\frac{b\bigl(a m x^{m-1} + a n x^{n-1} + b(n-m) x^{m+n-1}\bigr)}{(a-b x^{n})^{2}},
ou fatorar a b nos dois primeiros termos:
f'(x)=\frac{a b\bigl(m x^{m-1}+n x^{n-1}\bigr)+b^{2}(n-m)x^{m+n-1}}{(a-b x^{n})^{2}}.
Escolha a forma que achar mais clara na prova. Lembre-se de que a derivada só está bem definida onde o denominador original a-b x^{n} é diferente de zero.

Resposta

f'(x)=\frac{a b m x^{m-1} + a b n x^{n-1} + b^{2}(n-m) x^{m+n-1}}{(a-b x^{n})^{2}}

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