Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\left(1+x^{2}\right).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln\big(1+x^{2}\big).
  • Queremos f'(x), a derivada em relação a x.
    Não se resolve nada ainda aqui; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Conceito importante (regra que vamos usar): a derivada da função logarítmica composta. Se tivermos uma função do tipo \ln(u(x)), onde u(x) é uma função diferenciável, então a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando de forma didática: a função \ln(t) tem derivada \tfrac{1}{t} em relação a t. Quando t depende de x (ou seja, t=u(x)), pela regra da cadeia multiplicamos pela derivada de u, resultando em \tfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Identificar a função interna u(x) no nosso caso. Tomamos
u(x)=1+x^{2}.
Agora vamos calcular u'(x). Para isso usamos a regra da soma e a regra da potência:
  • A derivada de uma constante 1 é 0.
  • A regra da potência diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}. Aplicando com n=2, temos \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
    Portanto,
u'(x)=0+2x=2x.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada do logaritmo composta (Passo 2) usando u(x) e u'(x) que já achamos:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Aqui cada passo foi: derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}; substituímos u'(x)=2x e u(x)=1+x^{2}.

Passo 5

Observações e dicas para a prova:
  • Note que 1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a expressão \dfrac{2x}{1+x^{2}} está bem definida para todo x.
  • Erro comum: tentar “levar o 2” para fora do log sem usar regra da cadeia. Lembre-se que \ln(1+x^{2}) não é igual a 2\ln(1+x); não existe simplificação assim.
  • Exemplo parecido para treinar: calcule \dfrac{d}{dx}\ln\big(3x^{2}+5\big). Pelo mesmo raciocínio, seria \dfrac{6x}{3x^{2}+5}.
  • Se no exame aparecer \ln(u(x)), automaticamente pense: derive u e divida por u.

Resposta

\dfrac{2x}{1+x^{2}}

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