Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos
, a derivada em relação a .
Não se resolve nada ainda aqui; apenas identificamos o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Conceito importante (regra que vamos usar): a derivada da função logarítmica composta. Se tivermos uma função do tipo
, onde
é uma função diferenciável, então a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando de forma didática: a função
tem derivada
em relação a
. Quando
depende de
(ou seja,
), pela regra da cadeia multiplicamos pela derivada de
, resultando em
. Aqui
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Identificar a função interna
no nosso caso. Tomamos
Agora vamos calcular
. Para isso usamos a regra da soma e a regra da potência:
- A derivada de uma constante
é . - A regra da potência diz que
. Aplicando com , temos .
Portanto,
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada do logaritmo composta (Passo 2) usando
e
que já achamos:
Aqui cada passo foi: derivada de
é
; substituímos
e
.
Passo 5
Observações e dicas para a prova:
- Note que
para todo , então a expressão está bem definida para todo . - Erro comum: tentar “levar o 2” para fora do log sem usar regra da cadeia. Lembre-se que
não é igual a ; não existe simplificação assim. - Exemplo parecido para treinar: calcule
. Pelo mesmo raciocínio, seria . - Se no exame aparecer
, automaticamente pense: derive e divida por .