Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes que recebemos:
- A variável independente é
. -
é um parâmetro (constante em relação a ). - Há duas parcelas somadas: uma envolvendo seno de uma expressão polinomial e outra envolvendo tangente de uma expressão racional.
- Observação de domínio útil para derivação: precisamos ter
(pois aparece ); além disso a tangente não está definida onde o cosseno é zero, mas isso só importa ao analisar o domínio final — para derivar consideramos e pontos onde é definida.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Derivada da soma: a derivada de
é . Isso significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados. - Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta
, a derivada é
Aqui
é a função interna e
a externa; multiplicamos a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
- Derivadas trigonométricas básicas:
Na segunda,
é
, e
(identidade útil se preferir transformar).
- Derivada de uma potência/polinômio:
. Em particular, . - Derivada de
(usando a regra de potência): e .
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas parcelas da função.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
Defino a função interna
Calculo sua derivada usando a regra para soma e potência:
Agora uso a regra da cadeia com
. Assim
Substituindo
e
,
Exemplo curto para fixar: se tivéssemos
, a interna é
com derivada
, então a derivada seria
. Mesma lógica aqui, só que a interna é um quadrático.
Passo 4
Derivada da segunda parcela
.
Defino a função interna
Como
é constante, uso a regra da potência:
Agora aplico a regra da cadeia com
. Assim
Substituindo
e
,
Observação alternativa: como
, poderíamos escrever
que é algebraicamente equivalente.
Passo 5
Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos a derivada completa
:
Comentário final e incentivo: pronto — seguimos a regra da cadeia duas vezes (uma para o seno, outra para a tangente) e a regra da potência para obter a derivada de
. Se ficar tenso na prova, lembra: identifique a função interna, calcule a derivada dela, e multiplica pela derivada da externa avaliada na interna. Você consegue!