Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-5 x+1\right)+\operatorname{tg}\left(\frac{a}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}-5x+1\right)+\operatorname{tg}\!\left(\frac{a}{x}\right).
Informações relevantes que recebemos:
  • A variável independente é x.
  • a é um parâmetro (constante em relação a x).
  • Há duas parcelas somadas: uma envolvendo seno de uma expressão polinomial e outra envolvendo tangente de uma expressão racional.
  • Observação de domínio útil para derivação: precisamos ter x\neq 0 (pois aparece \frac{a}{x}); além disso a tangente não está definida onde o cosseno é zero, mas isso só importa ao analisar o domínio final — para derivar consideramos x\neq 0 e pontos onde \tan(a/x) é definida.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Derivada da soma: a derivada de u(x)+v(x) é u'(x)+v'(x). Isso significa que podemos derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
  • Regra da cadeia (explicada): se temos uma função composta g(u(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e g a externa; multiplicamos a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
  • Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\sin t = \cos t\cdot t', \qquad \frac{d}{dx}\tan t = \operatorname{sec}^2 t\cdot t'.
Na segunda, \operatorname{sec} t é 1/\cos t, e \operatorname{sec}^2 t = 1+\tan^2 t (identidade útil se preferir transformar).
  • Derivada de uma potência/polinômio: \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}. Em particular, \frac{d}{dx}x^2=2x.
  • Derivada de 1/x (usando a regra de potência): 1/x = x^{-1} e \frac{d}{dx}x^{-1} = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.
Vou aplicar essas regras passo a passo nas duas parcelas da função.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \operatorname{sen}\!\left(x^{2}-5x+1\right).
Defino a função interna
u(x)=x^{2}-5x+1.
Calculo sua derivada usando a regra para soma e potência:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^2-\frac{d}{dx}5x+\frac{d}{dx}1 = 2x-5+0 = 2x-5.
Agora uso a regra da cadeia com g(t)=\sin t. Assim
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x),
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}\!\left(x^{2}-5x+1\right)=(2x-5)\cos\!\left(x^{2}-5x+1\right).
Exemplo curto para fixar: se tivéssemos \sin(3x), a interna é 3x com derivada 3, então a derivada seria 3\cos(3x). Mesma lógica aqui, só que a interna é um quadrático.

Passo 4

Derivada da segunda parcela \operatorname{tg}\!\left(\frac{a}{x}\right).
Defino a função interna
v(x)=\frac{a}{x}=a\cdot x^{-1}.
Como a é constante, uso a regra da potência:
v'(x)=a\cdot\frac{d}{dx}x^{-1}=a\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{a}{x^2}.
Agora aplico a regra da cadeia com g(t)=\tan t. Assim
\frac{d}{dx}\tan(v(x))=\operatorname{sec}^2(v(x))\cdot v'(x).
Substituindo v(x) e v'(x),
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\!\left(\frac{a}{x}\right) = \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{a}{x}\right)\cdot\left(-\frac{a}{x^2}\right) = -\frac{a}{x^2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{a}{x}\right).
Observação alternativa: como \operatorname{sec}^2 t=1+\tan^2 t, poderíamos escrever
-\frac{a}{x^2}\left(1+\tan^2\!\left(\frac{a}{x}\right)\right),
que é algebraicamente equivalente.

Passo 5

Somando as duas derivadas (regra da soma), obtemos a derivada completa f'(x):
f'(x)=(2x-5)\cos\!\left(x^{2}-5x+1\right)-\frac{a}{x^2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{a}{x}\right).
Comentário final e incentivo: pronto — seguimos a regra da cadeia duas vezes (uma para o seno, outra para a tangente) e a regra da potência para obter a derivada de a/x. Se ficar tenso na prova, lembra: identifique a função interna, calcule a derivada dela, e multiplica pela derivada da externa avaliada na interna. Você consegue!

Resposta

(2x-5)\cos\!\left(x^{2}-5x+1\right)-\dfrac{a}{x^2}\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{a}{x}\right)

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