Calcule as seguintes derivadas:
\mathrm{y}=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+\operatorname{arctg}(2 \mathrm{x})\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\mathrm{y}=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)+\operatorname{arctg}(2x)\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)
e pede que calculemos as derivadas (interpreto aqui que o objetivo principal é isolar e obter uma expressão para \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}). Informações relevantes fornecidas:
  • A função y aparece no lado esquerdo e também aparece, multiplicada por \operatorname{arctg}(2x), a sua terceira derivada \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}.
  • Temos as funções conhecidas \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) e \operatorname{arctg}(2x) (isto é, \sin(x^2) e \arctan(2x)).
  • Para manipular algebricamente (dividir por \operatorname{arctg}(2x)) é necessário que \operatorname{arctg}(2x)\neq 0. Note que \operatorname{arctg}(2x)=0 ocorre em x=0.

Passo 2

Vamos isolar \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} por manipulação algébrica básica. Primeiro subtraímos \operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right) de ambos os lados:
\mathrm{y}-\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)=\operatorname{arctg}(2x)\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right).
Isto foi só uma aplicação da propriedade de igualdade: se A=B+C então A-C=B.

Passo 3

Agora dividimos ambos os lados por \operatorname{arctg}(2x) para obter explicitamente a terceira derivada. Ao fazer isso devemos lembrar a condição de divisão: só podemos dividir quando o divisor for diferente de zero. Assim, para x tal que \operatorname{arctg}(2x)\neq 0 (ou seja, x\neq 0), temos
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{\mathrm{y}-\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)}{\operatorname{arctg}(2x)}.
Aqui usamos a regra algébrica simples: se M=N\cdot P e P\neq 0 então N=M/P.

Passo 4

Comentário sobre a situação em x=0. Em x=0 temos \operatorname{arctg}(2\cdot 0)=\operatorname{arctg}(0)=0. Substituindo x=0 na equação original obtemos
y(0)=\operatorname{sen}(0)+0\cdot\left(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\Big|_{x=0}\right) \quad\Longrightarrow\quad y(0)=0.
Isso significa que a fórmula obtida no passo anterior não fornece \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} em x=0 porque dividimos por zero. Para saber o valor de \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} em x=0 seria necessário mais informação (por exemplo condições iniciais adicionais, ou exigir que a razão tenha limite finito quando x\to 0 e usar continuidade). Em resumo: a expressão do passo anterior vale para todos os x com \operatorname{arctg}(2x)\neq 0; em x=0 a equação original apenas impõe y(0)=0.

Passo 5

Breve recapitulando a ideia matemática usada (didática rápida):
  • Fizemos manipulação algébrica de uma equação que envolve y e sua derivada de terceira ordem.
  • Não aplicamos derivação aqui porque a equação já relacionava y e \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} diretamente; portanto bastou isolar a incógnita \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}.
  • Atenção sempre ao domínio das operações (divisão por funções que podem ser zero). Quando o divisor pode ser zero, trate o ponto separadamente.

Resposta

\frac{d^{3} y}{d x^{3}}=\frac{\mathrm{y}-\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)}{\operatorname{arctg}(2x)},\quad \text{para } \operatorname{arctg}(2x)\neq 0.

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