Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a fração algébrica
e pede para simplificá-la. Informações relevantes que temos:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador, ao combinar os termos semelhantes
, é o polinômio (grau ). - O objetivo é fatorar numerador e denominador e cancelar quaisquer fatores comuns para obter a forma mais simples possível da fração.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador passo a passo. Primeiro, procuramos um fator comum:
Agora fatoramos a quadrática
. Para isso usamos a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática). Dados
,
,
, o discriminante é
Como
tem raiz quadrada inteira
, as raízes são
Isso dá as raízes
e
. Assim a quadrática fatora como
Portanto o numerador totalmente fatorado é
Passo 3
Agora cuidamos do denominador. Primeiro combinamos termos iguais (como já fizemos):
Queremos ver se esse polinômio cúbico tem algum fator linear racional que possa ser cancelado com o numerador. Pelo Teorema das Raízes Racionais, possíveis raízes racionais são divisores de
:
. Testamos os candidatos avaliando o polinômio
:
-
. -
. -
. -
. - Valores
também não anulam (são muito grandes em módulo), portanto não há raiz inteira/racional entre esses candidatos.
Como nenhuma raiz racional foi encontrada, o polinômio
não possui fator linear com coeficiente racional que possa coincidir com
ou
do numerador. Podemos verificar explicitamente que:
e
logo
também não é fator do denominador. Assim não há fatores comuns entre numerador e denominador que sejam polinômios com coeficientes racionais.
Passo 4
Concluímos que o único fator comum possível (até fatores constantes) não existe; portanto a simplificação consiste em apresentar o numerador fatorado e o denominador combinado, sem cancelamento. A fração simplificada é
Observação importante para a prova: sempre que fatorar um polinômio e encontrar fatores lineares, verifique se esses fatores anulam o denominador (avaliando o denominador nessas raízes). Só cancele fatores quando for certo que o mesmo fator aparece em numerador e denominador.