Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{4 x^{2}+6 x-18}{x^{3}+6 x+12 x+27}

Passo 1

O enunciado dá a fração algébrica
\frac{4 x^{2}+6 x-18}{x^{3}+6 x+12 x+27}
e pede para simplificá-la. Informações relevantes que temos:
  • O numerador é o polinômio 4x^{2}+6x-18 (grau 2).
  • O denominador, ao combinar os termos semelhantes 6x+12x, é o polinômio x^{3}+18x+27 (grau 3).
  • O objetivo é fatorar numerador e denominador e cancelar quaisquer fatores comuns para obter a forma mais simples possível da fração.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador passo a passo. Primeiro, procuramos um fator comum:
4x^{2}+6x-18 = 2\bigl(2x^{2}+3x-9\bigr).
Agora fatoramos a quadrática \;2x^{2}+3x-9\;. Para isso usamos a fórmula de Bhaskara (ou a fórmula quadrática). Dados a=2, b=3, c=-9, o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4\cdot 2\cdot(-9) = 9 + 72 = 81.
Como \Delta=81 tem raiz quadrada inteira \sqrt{81}=9, as raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3\pm 9}{2\cdot 2} = \frac{-3\pm 9}{4}.
Isso dá as raízes x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} e x=\dfrac{-12}{4}=-3. Assim a quadrática fatora como
2x^{2}+3x-9 = (2x-3)(x+3).
Portanto o numerador totalmente fatorado é
4x^{2}+6x-18 = 2(2x-3)(x+3).

Passo 3

Agora cuidamos do denominador. Primeiro combinamos termos iguais (como já fizemos):
x^{3}+6x+12x+27 = x^{3}+18x+27.
Queremos ver se esse polinômio cúbico tem algum fator linear racional que possa ser cancelado com o numerador. Pelo Teorema das Raízes Racionais, possíveis raízes racionais são divisores de 27: \pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 27. Testamos os candidatos avaliando o polinômio p(x)=x^{3}+18x+27:
  • p(1)=1+18+27=46\neq 0.
  • p(-1)=-1-18+27=8\neq 0.
  • p(3)=27+54+27=108\neq 0.
  • p(-3)=-27-54+27=-54\neq 0.
  • Valores \pm 9,\pm 27 também não anulam (são muito grandes em módulo), portanto não há raiz inteira/racional entre esses candidatos.
Como nenhuma raiz racional foi encontrada, o polinômio x^{3}+18x+27 não possui fator linear com coeficiente racional que possa coincidir com (x+3) ou (2x-3) do numerador. Podemos verificar explicitamente que:
p\!\left(-3\right) = -54 \neq 0 \quad\text{(logo \(x+3\) não é fator do denominador)},ãé
e
p\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}+18\cdot\tfrac{3}{2}+27=\tfrac{27}{8}+27+27=\tfrac{27}{8}+54\neq 0,
logo 2x-3 também não é fator do denominador. Assim não há fatores comuns entre numerador e denominador que sejam polinômios com coeficientes racionais.

Passo 4

Concluímos que o único fator comum possível (até fatores constantes) não existe; portanto a simplificação consiste em apresentar o numerador fatorado e o denominador combinado, sem cancelamento. A fração simplificada é
\frac{2(2x-3)(x+3)}{x^{3}+18x+27}.
Observação importante para a prova: sempre que fatorar um polinômio e encontrar fatores lineares, verifique se esses fatores anulam o denominador (avaliando o denominador nessas raízes). Só cancele fatores quando for certo que o mesmo fator aparece em numerador e denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{2(2x-3)(x+3)}{x^{3}+18x+27}

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