Determine as derivadas de segunda ordem:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a segunda derivada da função
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e polinomiais, além de usar a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A função é:
Vamos derivar cada parte separadamente.
-
Derivada de
: - Aqui usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de
é , onde . - Então,
. - Assim, a derivada fica:
- Aqui usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de
-
Derivada de
: - Isso é simples, pois a derivada de
é 1. - Então:
- Isso é simples, pois a derivada de
Juntando as duas partes, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada de
.
Temos:
Vamos derivar cada parte novamente.
-
Derivada de
: - Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é , onde e . - Primeiro, derivamos
: - Depois, derivamos
usando a regra da cadeia novamente: - Então, aplicando a regra do produto:
- Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
-
Derivada de 5:
- A derivada de uma constante é 0.
- A derivada de uma constante é 0.
Juntando tudo, a segunda derivada fica:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A segunda derivada da função
é: