Determine as derivadas de segunda ordem:
c) d^2/dx^2 (e^(x^2) + 5x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a segunda derivada da função . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e polinomiais, além de usar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A função é:
Vamos derivar cada parte separadamente.
  1. Derivada de :
    • Aqui usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de é , onde .
    • Então, .
    • Assim, a derivada fica:
  2. Derivada de :
    • Isso é simples, pois a derivada de é 1.
    • Então:
Juntando as duas partes, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada de .
Temos:
Vamos derivar cada parte novamente.
  1. Derivada de :
    • Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .
    • Primeiro, derivamos :
    • Depois, derivamos usando a regra da cadeia novamente:
    • Então, aplicando a regra do produto:
  2. Derivada de 5:
    • A derivada de uma constante é 0.
Juntando tudo, a segunda derivada fica:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A segunda derivada da função é:

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