Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
2 x^3+x y+x

Passo 1

O enunciado define uma relação implícita entre x e y dada por 2x³ + x·y + x = 0. O que queremos é calcular y’ = dy/dx usando diferenciação implícita, aplicando a regra da soma, a regra do produto e lembrando que y é função de x.

Passo 2

Começamos diferenciando os dois lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, temos três termos: 2x³, x·y e x. No lado direito, presumimos 0, pois a expressão está igualada a zero.

Passo 3

Derivando termo a termo:
• Derivada de 2x³ é 6x², pela regra de potência.
• Derivada de x·y aplica a regra do produto: (x)’·y + x·(y’). Ou seja, 1·y + x·y’ = y + x·y’.
• Derivada de x é 1.

Passo 4

Portanto, ao diferenciar 2x³ + x·y + x = 0 obtemos:
6x^2 + (y + x,y') + 1 = 0

Passo 5

Agora isolamos o termo que contém y’:
y + x,y' + 6x^2 + 1 = 0
x,y' = -l(6x^2 + y + 1r)

Passo 6

E finalmente dividimos por x para obter y’:
y' = -6x^2 + y + 1x

Resposta

y’ = -\frac{6x^2 + y + 1}{x}

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