Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
Passo 1
O enunciado define uma relação implícita entre x e y dada por 2x³ + x·y + x = 0. O que queremos é calcular y’ = dy/dx usando diferenciação implícita, aplicando a regra da soma, a regra do produto e lembrando que y é função de x.
Passo 2
Começamos diferenciando os dois lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, temos três termos: 2x³, x·y e x. No lado direito, presumimos 0, pois a expressão está igualada a zero.
Passo 3
Derivando termo a termo:
• Derivada de 2x³ é 6x², pela regra de potência.
• Derivada de x·y aplica a regra do produto: (x)’·y + x·(y’). Ou seja, 1·y + x·y’ = y + x·y’.
• Derivada de x é 1.
• Derivada de 2x³ é 6x², pela regra de potência.
• Derivada de x·y aplica a regra do produto: (x)’·y + x·(y’). Ou seja, 1·y + x·y’ = y + x·y’.
• Derivada de x é 1.
Passo 4
Portanto, ao diferenciar 2x³ + x·y + x = 0 obtemos:
Passo 5
Agora isolamos o termo que contém y’:
Passo 6
E finalmente dividimos por x para obter y’:
Resposta
y’ = -\frac{6x^2 + y + 1}{x}