Consideremos a cônica de equação
Encontre uma mudança de coordenadas que transforma o sistema
num sistema
ortonormal, de modo que a equação da cônica no sistema
esteja na forma canônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
que tem termo misto
. O objetivo é achar uma rotação ortonormal no plano
de modo a eliminar o termo
e depois uma translação para completar quadrados, chegando à forma canônica. Para isso usamos:
- Rotação de ângulo
tal que . - Completar quadrado na nova coordenada para achar o vértice.
Passo 2
Identificamos
,
,
. Calculamos
Logo
. Usando as fórmulas
resulta
Passo 3
Definimos a rotação
Substituindo na equação original, obtém–se (após simplificar)
já sem termo misto
e sem termo em
, confirmando que é uma parábola.
Passo 4
Reescrevemos
Completamos o quadrado em
:
Substituindo e rearranjando:
Isolando
:
Definimos então a translação
de modo que a parábola fique em forma canônica.
Passo 5
Juntando rotação e translação, a mudança de coordenadas
é
Na novas variáveis a cônica fica
que é a forma canônica de uma parábola orientada ao longo do eixo
.
Resposta
A rotação de ângulo
com
,
seguida da translação
,
, onde
leva a equação original à forma