Consideremos a cônica de equação
4 x^2-4 x y+y^2-18 x-16 y+39=0
Encontre uma mudança de coordenadas que transforma o sistema x O y num sistema barx barO bary ortonormal, de modo que a equação da cônica no sistema barx barO bary esteja na forma canônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^2-4xy+y^2-18x-16y+39=0
que tem termo misto xy. O objetivo é achar uma rotação ortonormal no plano xy de modo a eliminar o termo xy e depois uma translação para completar quadrados, chegando à forma canônica. Para isso usamos:
  1. Rotação de ângulo varphi tal que tan2varphi=BA-C.
  2. Completar quadrado na nova coordenada para achar o vértice.

Passo 2

Identificamos A=4, B=-4, C=1. Calculamos
tan2varphi=BA-C=-44-1=-43
Logo 2varphi=arctan(-4/3). Usando as fórmulas
cos2varphi=1raiz1+tan^2 2varphi=35, sin2varphi=-45,
resulta
cosvarphi=raiz1+cos2varphi2=2raiz5, sinvarphi=-raiz1-cos2varphi2=-1raiz5

Passo 3

Definimos a rotação
X = xcosvarphi + ysinvarphi = 2x - yraiz5, Y = -,xsinvarphi + ycosvarphi = x +2yraiz5
Substituindo na equação original, obtém–se (após simplificar)
5X^2 -4raiz5,X -10raiz5,Y +39=0,
já sem termo misto XY e sem termo em Y^2, confirmando que é uma parábola.

Passo 4

Reescrevemos
5X^2 -4raiz5,X -10raiz5,Y +39=0 ;Longrightarrow; 5l(X^2-4raiz55Xr)-10raiz5,Y+39=0
Completamos o quadrado em X:
X^2-4raiz55X =l(X-2raiz5r)^2-45
Substituindo e rearranjando:
5l(X-tfrac2raiz5r)^2-4-10raiz5,Y+39=0 ;Longrightarrow; 5l(X-tfrac2raiz5r)^2-10raiz5,Y+35=0
Isolando Y:
10raiz5,Y =5l(X-tfrac2raiz5r)^2+35 ;Longrightarrow; Y =12raiz5l(X-tfrac2raiz5r)^2 +72raiz5
Definimos então a translação
bar x = X-2raiz5, bar y = Y-72raiz5,
de modo que a parábola fique em forma canônica.

Passo 5

Juntando rotação e translação, a mudança de coordenadas xOytobar xObar y é
bar x =2x-yraiz5-2raiz5, bar y =x+2yraiz5-72raiz5
Na novas variáveis a cônica fica
bar y = bar x^22raiz5 Long<=ftrightarrow bar x^2 = 2raiz5,bar y,
que é a forma canônica de uma parábola orientada ao longo do eixo bar y.

Resposta

A rotação de ângulo varphi com
cosvarphi=2/raiz5, sinvarphi=-1/raiz5 seguida da translação bar x=X-2/raiz5, bar y=Y-7/(2raiz5), onde
X=2x-yraiz5, Y=x+2yraiz5,
leva a equação original à forma
bar x^2 =2raiz5,bar y

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