Exercício 5 No espaço vetorial considere a base . Mostre que é uma base. Encontre ou .
Passo 1
Então, temos que no espaço vetorial , a base está sendo considerada. O exercício pede para mostrar que também é uma base e para encontrar a matriz de mudança de base ou . Vamos precisar entender o que é uma base, verificar se é uma base e então encontrar a matriz de mudança de base entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Para mostrar que é uma base, precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes e se eles geram. Uma maneira prática de fazer isso é formando uma matriz com esses vetores como colunas e calculando seu determinante.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores de :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base.
Como det(B) = 1 neq 0, os vetores de beta são linearmente independentes e, portanto, beta é uma base de R^3.
Passo 6
Agora que sabemos que beta é uma base, vamos encontrar a matriz de mudança de base [I]alpha^beta, que nos permite expressar os vetores da base alpha na base beta.
Passo 7
Para encontrar [I]alpha^beta, precisamos expressar cada vetor de alpha como uma combinação linear dos vetores de beta.
Vamos denotar os vetores de alpha como v1 = (1,0,0), v2 = (1,1,0) e v3 = (1,1,1), e os vetores de beta como b1 = (1,0,0), b2 = (0,1,0) e b3 = (1,-1,1).
Passo 8
Primeiro, vamos expressar [v_1 = (1,0,0)) na base :
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .
Passo 9
Em seguida, vamos expressar [v_2 = (1,1,0)) na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, temos , e .
Passo 10
Por fim, vamos expressar [v_3 = (1,1,1)) na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .
Passo 11
Agora, podemos construir a matriz de mudança de base [I]alpha^beta utilizando os coeficientes encontrados:
[I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
Resposta
A base beta é de fato uma base de R^3 e a matriz de mudança de base [I]alpha^beta é: