Exercício 5 No espaço vetorial R^3 considere a base alpha=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1). Mostre que beta=(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,1) é uma base. Encontre [I]alpha^beta ou [I]beta^alpha.

Passo 1

Então, temos que no espaço vetorial R^3, a base alpha = (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) está sendo considerada. O exercício pede para mostrar que beta = (1,0,0), (0,1,0), (1,-1,1) também é uma base e para encontrar a matriz de mudança de base [I]alpha^beta ou [I]beta^alpha. Vamos precisar entender o que é uma base, verificar se beta é uma base e então encontrar a matriz de mudança de base entre alpha e beta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Para mostrar que beta é uma base, precisamos verificar se os vetores em beta são linearmente independentes e se eles geram R^3. Uma maneira prática de fazer isso é formando uma matriz com esses vetores como colunas e calculando seu determinante.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores de beta:
B = 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base.
det(B) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 - 0 + 0 = 1
Como det(B) = 1 neq 0, os vetores de beta são linearmente independentes e, portanto, beta é uma base de R^3.

Passo 6

Agora que sabemos que beta é uma base, vamos encontrar a matriz de mudança de base [I]alpha^beta, que nos permite expressar os vetores da base alpha na base beta.

Passo 7

Para encontrar [I]alpha^beta, precisamos expressar cada vetor de alpha como uma combinação linear dos vetores de beta.
Vamos denotar os vetores de alpha como v1 = (1,0,0), v2 = (1,1,0) e v3 = (1,1,1), e os vetores de beta como b1 = (1,0,0), b2 = (0,1,0) e b3 = (1,-1,1).

Passo 8

Primeiro, vamos expressar [v_1 = (1,0,0)) na base :
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 9

Em seguida, vamos expressar [v_2 = (1,1,0)) na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, temos , e .

Passo 10

Por fim, vamos expressar [v_3 = (1,1,1)) na base :
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 11

Agora, podemos construir a matriz de mudança de base [I]alpha^beta utilizando os coeficientes encontrados:
[I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Resposta

A base beta é de fato uma base de R^3 e a matriz de mudança de base [I]alpha^beta é:
[I]alpha^beta = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

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