Calcule os seguintes determinantes:\n(e) |llla & b & c b & c & a c & a & b|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que você me passou. O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 3x3 específica. Para isso, vamos usar as regras de cálculo de determinantes de matrizes 3x3, que envolvem multiplicações e somas de elementos da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que estamos lidando:
a & b & c b & c & a c & a & b

Passo 3

Agora, para calcular o determinante dessa matriz 3x3, podemos usar a Regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou optar pela Regra de Sarrus porque é mais direta para matrizes 3x3.

Passo 4

A Regra de Sarrus diz que o determinante é igual à soma dos produtos das diagonais principais menos a soma dos produtos das diagonais secundárias. Vamos identificar essas diagonais na nossa matriz.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos as diagonais principais:
  1. a times c times b
  2. b times a times c
  3. c times b times a
Somando esses valores:
a cdot c cdot b + b cdot a cdot c + c cdot b cdot a

Passo 6

Em seguida, multiplicamos as diagonais secundárias:
  1. c times c times c
  2. a times a times a
  3. b times b times b
Somando esses valores:
c cdot c cdot c + a cdot a cdot a + b cdot b cdot b

Passo 7

Agora, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
(a cdot c cdot b + b cdot a cdot c + c cdot b cdot a) - (c cdot c cdot c + a cdot a cdot a + b cdot b cdot b)

Passo 8

Simplificando os termos, percebemos que a cdot c cdot b , b cdot a cdot c e c cdot b cdot a são iguais e podemos somar três vezes o mesmo termo:
3abc - (a^3 + b^3 + c^3)

Resposta

O determinante da matriz é 3abc - a^3 - b^3 - c^3 .

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