Calcule os seguintes determinantes.
|rrrr1 & -2 & 5 & 2 0 & 0 & 3 & 0 2 & -4 & -3 & 5 2 & 0 & 3 & 5|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 1 & -2 & 5 & 2 0 & 0 & 3 & 0 2 & -4 & -3 & 5 2 & 0 & 3 & 5
O conteúdo associado é determinantes de matrizes e usaremos a expansão de Laplace (cofatores), aproveitando que a segunda linha de A tem três zeros, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 2

Fazendo a expansão de Laplace ao longo da segunda linha de A, as únicas entradas não nulas são a23=3. Logo,
det(A) =sumj=1^4(-1)^2+ja2jdet(M2j) =(-1)^2+3cdot 3cdot det(M23) =-,3;det(M23),
onde M23 é o menor obtido ao remover a segunda linha e a terceira coluna de A.

Passo 3

O menor M23 é a matriz 3times3
M23= 1 & -2 & 2 2 & -4 & 5 2 & 0 & 5
Calculamos det(M23) pela regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha:
det(M23) =1cdotl((-4)cdot5 - 5cdot0r) -(-2)cdotl(2cdot5 - 5cdot2r) +2cdotl(2cdot0 -(-4)cdot2r)
Isso dá
det(M23) =1cdot(-20) -(-2)cdot(10-10) +2cdot(0+8) =-20 -0 +16 =-4

Passo 4

Substituindo de volta em det(A)=-3det(M23), obtemos
det(A)=-3cdot(-4)=12

Resposta

12

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