Verifique se o ponto dado pertence às seguintes retas:
Ponto P=(-1,-6,0) na reta que passa por A=(2,0,3) e B=(1,-2,2)

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado quer: a gente precisa ver se o ponto
P=(-1,-6,0)
está na reta que passa por
A=(2,0,3)
e
B=(1,-2,2)
Isso é conteúdo de geometria analítica: reta no espaço. Para resolver, vamos precisar
  • encontrar o vetor diretor da reta (usando B - A),
  • montar a forma paramétrica da reta,
  • e ver se existe um parâmetro t que leve nossa equação paramétrica até o ponto P.

Passo 2

Primeiro, o vetor diretor vec d da reta é dado por
vec d = B - A = (1-2,,-2-0,;2-3) = (-1,,-2,,-1)
Por que fazemos isso? Porque todo ponto da reta pode ser escrito como A somado a um múltiplo desse vetor diretor.

Passo 3

Agora, montamos a forma paramétrica da reta:
r(t) ;=; A + t,vec d ;=;(2,0,3) + t,(-1,-2,-1)
Em coordenadas separadas, isso dá
l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(2 - t,;0 - 2t,;3 - tr) = l(2 - t,,-2t,;3 - tr)

Passo 4

Para ver se P=(-1,-6,0) está na reta, a gente exige
(2 - t,,-2t,;3 - t) ;=; (-1,,-6,,0)
Isso gera o sistema:
  1. 2 - t = -1
  2. -2t = -6
  3. 3 - t = 0
Vamos resolver cada um:
  1. 2 - t = -1 implies t = 3
  2. -2t = -6 implies t = 3
  3. 3 - t = 0 implies t = 3
Como em todas as três coordenadas o parâmetro dá t = 3, não há contradição.

Resposta

Sim! O ponto P=(-1,-6,0) pertence à reta que passa por A e B, pois para t=3 a forma paramétrica coincide exatamente com P.

Exercícios relacionados