Calcule os seguintes determinantes.
|rrrrr6 & 3 & 2 & 4 & 0 9 & 0 & -4 & 1 & 0 8 & -5 & 6 & 7 & 1 2 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 & 0|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A= 6 & 3 & 2 & 4 & 0 9 & 0 & -4 & 1 & 0 8 & -5 & 6 & 7 & 1 2 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 & 0
O conteúdo é expansão de determinante por cofactores (menores). Vamos explorar colunas ou linhas com muitos zeros para simplificar.

Passo 2

Note que a quinta coluna de A é l(0,0,1,0,0r)^T. Então, ao expandir det(A) pela coluna 5 só há um termo não nulo, em posição (3,5):
det(A) =sumi=1^5(-1)^i+5ai5det(Mi5) =(-1)^3+5cdot 1cdot det(M35) =det(M35),
onde M35 é o menor de A obtido ao suprimir a linha 3 e a coluna 5.

Passo 3

O menor M35 é a matriz 4times4
B=M35= 6 & 3 & 2 & 4 9 & 0 & -4 & 1 2 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 ,
logo det(A)=det(B). Agora vamos calcular det(B).

Passo 4

Na matriz B, a terceira linha é l(2,0,0,0r). Expandindo det(B) pela linha 3, só o elemento b31=2 contribui:
det(B) =sumj=1^4(-1)^3+jb3jdet(N3j) =(-1)^3+1cdot 2cdot det(N31) =+2det(N31),
onde N31 é o menor de B retirando linha 3 e coluna 1.

Passo 5

O menor N31 é a matriz 3times3 que resta das linhas 1,2,4 e colunas 2,3,4:
N31= 3 & 2 & 4 0 & -4 & 1 2 & 3 & 2
Calculamos seu determinante por regra de Sarrus ou cofactores:
det(N31) =3det!-4&13&2 -2det!0&12&2 +4det!0&-42&3
Agora cada menor 2times2:
det-4&13&2 =(-4)cdot 2-1cdot 3=-8-3=-11,
det0&12&2 =0cdot 2-1cdot 2=-2,
det0&-42&3 =0cdot 3-(-4)cdot2=8
Substituindo em det(N31):
det(N31)=3cdot(-11)-2cdot(-2)+4cdot8 =-33+4+32=3

Passo 6

Voltando a det(B):
det(B)=2det(N31)=2cdot 3=6
Como det(A)=det(B), concluímos que

Resposta

;6

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