Explore o efeito de uma operação elementar sobre o determinante de uma matriz. Em cada caso, enuncie a operação elementar e descreva seu efeito no determinante.
[lla & b c & d],[cca+k c & b+k d c & d]

Passo 1

Temos a matriz original
M = a & b c & d
e a matriz obtida após uma operação elementar
M' = a + k,c & b + k,d c & d
O tópico aqui é “operações elementares de linha” e seu efeito sobre o determinante.

Passo 2

Lembrando que o determinante de uma matriz 2times2 é
det(M) = a,d - b,c

Passo 3

A operação elementar que leva M em M' é
R1 ;long<=ftarrow; R1 + k,R2,
ou seja, somamos k vezes a segunda linha à primeira.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de M':
det(M') = (a + k,c),d ;-;(b + k,d),c = a,d + k,c,d ;-; b,c - k,d,c = a,d - b,c = det(M)
Logo, a parte k,c,d cancela com -k,d,c, mostrando que a operação não alterou o valor do determinante.

Resposta

A operação elementar é
R1 long<=ftarrow R1 + k,R2,
e o seu efeito sobre o determinante é nenhum: o determinante permanece o mesmo.

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