Calcule os seguintes determinantes pela regra de Sarrus:
\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -2 \\\\ -1 & 0 & -5 \\\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac34 & -2\\\\ -1 & 0 & -5\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular o determinante usando a regra de Sarrus, que diz: “somamos os produtos das três diagonais que descem e subtraímos os produtos das três diagonais que sobem”.

Passo 2

Repetimos as duas primeiras colunas à direita para visualizar as diagonais:
\begin{array}{ccc|cc} \tfrac12 & -\tfrac34 & -2 & \tfrac12 & -\tfrac34\\\\ -1 & 0 & -5 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \end{array}
As diagonais que descem (positivas) são:
  1. \tfrac12\cdot0\cdot1
  2. -\tfrac34\cdot(-5)\cdot0
  3. -2\cdot(-1)\cdot(-1)
As diagonais que sobem (negativas) são:
  1. -2\cdot0\cdot0
  2. -\tfrac34\cdot(-1)\cdot1
  3. \tfrac12\cdot(-5)\cdot(-1)

Passo 3

Calculamos a soma dos produtos descendentes:
P_{\text{desc}} = \tfrac12\cdot0\cdot1 +(-\tfrac34)\cdot(-5)\cdot0 +(-2)\cdot(-1)\cdot(-1) = 0 + 0 + (-2) = -2.

Passo 4

Calculamos a soma dos produtos ascendentes:
P_{\text{asc}} = (-2)\cdot0\cdot0 +(-\tfrac34)\cdot(-1)\cdot1 +\tfrac12\cdot(-5)\cdot(-1) = 0 + \tfrac34 + \tfrac52 = \tfrac{3}{4} + \tfrac{10}{4} = \tfrac{13}{4}.

Passo 5

Pela regra de Sarrus, o determinante é
\det = P_{\text{desc}} - P_{\text{asc}} = -2 - \tfrac{13}{4} = -\tfrac{21}{4}.

Resposta

-\tfrac{21}{4}.

Exercícios relacionados