Determinar todas as raízes da equação:
\left|\begin{array}{cc} x^{2} & -1 \\\\ -1 & x^{2} \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de x (no conjunto dos complexos) que fazem o determinante da matriz
\begin{pmatrix} x^{2} & -1 \\\\ -1 & x^{2} \end{pmatrix}
ser igual a zero. Vamos usar a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2 e em seguida resolver o polinômio obtido.

Passo 2

O determinante de \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
é dado por ad - bc. Aqui a=d=x^2 e b=c=-1, então
\det = x^2\cdot x^2 \;-\;(-1)\cdot(-1) \;=\;x^4 \;-\;1.

Passo 3

Impondo \det=0 obtemos o polinômio
x^4 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^4 = 1.

Passo 4

O polinômio x^4 -1 pode ser fatorado como
x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1).
Resolvendo cada fator igual a zero:
- De x^2 - 1 = 0 vem x = \pm 1.
- De x^2 + 1 = 0 vem x = \pm i.

Resposta

As raízes da equação são
x = 1,\quad x = -1,\quad x = i,\quad x = -i.

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