Determine x tal que:
\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 2 & x \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 3 x & x+1 & 2 x \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 3 x & 2 x \\\\ 4 & -x \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que satisfazem a igualdade entre o determinante 3\times3 \Delta_3 = \left|\begin{array}{ccc} x-1 & 2 & x \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 3x & x+1 & 2x \end{array}\right|
e o determinante 2\times2 \Delta_2 = \left|\begin{array}{cc} 3x & 2x \\\\ 4 & -x \end{array}\right|.
Para resolver, vamos em etapas: primeiro calcular \Delta_2, depois \Delta_3, e por fim igualar e resolver a equação resultante.

Passo 2

Calcular o determinante 2\times2:
\Delta_2 = \left|\begin{array}{cc} 3x & 2x \\\\ 4 & -x \end{array}\right| = (3x)(-x) - (2x)(4) = -3x^2 - 8x.

Passo 3

Calcular o determinante 3\times3 pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha. Usando a expansão:
\Delta_3 = (x-1)\begin{vmatrix}1 & -1 \\[6pt] x+1 & 2x\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}0 & -1 \\[3pt] 3x & 2x\end{vmatrix} + x\begin{vmatrix}0 & 1 \\[3pt] 3x & x+1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}1 & -1 \\\ x+1 & 2x\end{vmatrix} = 1\cdot2x -(-1)\cdot(x+1) = 2x + x +1 = 3x+1,
\begin{vmatrix}0 & -1 \\\\ 3x & 2x\end{vmatrix} = 0\cdot2x -(-1)\cdot3x = 3x,
\begin{vmatrix}0 & 1 \\\\ 3x & x+1\end{vmatrix} = 0\cdot(x+1) - 1\cdot3x = -3x.
Substituindo:
\Delta_3 = (x-1)(3x+1) - 2\,(3x) + x\,(-3x) = (3x^2 -2x -1) - 6x - 3x^2 = -8x -1.]

Passo 4

Igualando \Delta_3 e \Delta_2 obtemos
-8x - 1 = -3x^2 - 8x.
Somando 8x aos dois lados:
-1 = -3x^2 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

Exercícios relacionados