Calcule partial z / partial x e partial z / partial y para as seguintes funções:
z=3 x^3+5 y^4+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y para a função z = 3x^3 + 5y^4 + 7 . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x . Quando fazemos uma derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então, y e o número 7 vão ser considerados constantes aqui.
A função em termos de x é z = 3x^3 + 5y^4 + 7 . A derivada de 3x^3 em relação a x é 9x^2 (usando a regra do expoente, onde derivamos x^n para n x^n-1 ). As outras partes, 5y^4 e 7 , são constantes e a derivada delas em relação a x é 0.
Então:
partial zpartial x = 9x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y , ou seja, partial zpartial y . Aqui, tratamos x e o número 7 como constantes.
A função em termos de y é z = 3x^3 + 5y^4 + 7 . A derivada de 5y^4 em relação a y é 20y^3 (novamente usando a regra do expoente). As outras partes, 3x^3 e 7 , são constantes e suas derivadas em relação a y são 0.
Então:
partial zpartial y = 20y^3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 9x^2 e partial zpartial y = 20y^3

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