Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0 x ln (x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
limxto0^+ xln(x)
usando a regra de L’Hôpital. Note que quando xto0^+ temos xto0 e ln(x)to-infty, ou seja, é uma forma indeterminada do tipo 0cdot(-infty).

Passo 2

Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
xln(x);=;ln(x)1/x
Agora, ao levar xto0^+, o numerador tende a -infty e o denominador a +infty, caracterizando a indeterminação tfrac-infty+infty.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
(ln(x))' = 1x, l(tfrac1xr)' = -,1x^2
Pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+ ln(x)1/x = limxto0^+ tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+ (-x) = 0

Passo 4

Portanto, voltando à expressão original, concluímos que
limxto0^+ xln(x) = 0

Resposta

0

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