Calcule partial z / partial x e partial z / partial y para as seguintes funções:
z=x ln y+y^2 ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y para a função z = x ln y + y^2 ln x . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções que envolvem logaritmos e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x , ou seja, partial zpartial x . Nessa situação, tratamos y como uma constante.
A função é:
z = x ln y + y^2 ln x
Derivando termo a termo em relação a x :
  1. Primeiro termo: x ln y
    • Como ln y é uma constante (porque y é tratado como constante), a derivada de x é 1.
    • Então, ddx(x ln y) = ln y
  2. Segundo termo: y^2 ln x
    • Aqui, y^2 é uma constante.
    • A derivada de ln x em relação a x é 1x .
    • Então, ddx(y^2 ln x) = y^2 cdot 1x = y^2x
Somando as derivadas dos dois termos:
partial zpartial x = ln y + y^2x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y , ou seja, partial zpartial y . Desta vez, tratamos x como uma constante.
A função é novamente:
z = x ln y + y^2 ln x
Derivando termo a termo em relação a y :
  1. Primeiro termo: x ln y
    • A derivada de ln y em relação a y é 1y .
    • Como x é uma constante, temos ddy(x ln y) = x cdot 1y = xy
  2. Segundo termo: y^2 ln x
    • Aqui, ln x é uma constante.
    • A derivada de y^2 em relação a y é 2y .
    • Então, ddy(y^2 ln x) = ln x cdot 2y = 2y ln x
Somando as derivadas dos dois termos:
partial zpartial y = xy + 2y ln x

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = ln y + y^2x
partial zpartial y = xy + 2y ln x

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