Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas a seguir.
\left(3 x{2}-y{2}\right) d x+\left(x y-x^{3} y^{-1}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(3x^2 - y^2),dx + l(xy - x^3y^-1r),dy = 0
Note que M(x,y)=3x^2 - y^2 e N(x,y)=xy - x^3y^-1 são homogêneas de grau 2, pois
M(lambda x,lambda y)=lambda^2M(x,y), N(lambda x,lambda y)=lambda^2N(x,y)
Vamos aplicar o método de equações homogêneas, usando a substituição y=ux.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
dydx ;=; -MN ;=; -3x^2 - y^2xy - x^3y^-1
No denominador fatoramos x:
xy - x^3y^-1 = xl(y - x^2yr) = x,(y^2 - x^2)y
Logo
dydx = -y,(3x^2 - y^2)x,(y^2 - x^2)

Passo 3

Com a troca y=ux temos
dydx = u + xdudx
Substituindo na expressão anterior:
u + xdudx = -u x^3(3 - u^2)x^3(u^2 - 1) = -u(3 - u^2)u^2 - 1
Isolando o termo x,du/dx:
xdudx = -u(3 - u^2)u^2 - 1 - u = -2uu^2 - 1

Passo 4

Agora separamos as variáveis e integramos:
u^2 - 1u,du = -2,dxx Longrightarrow integrall(u - 1ur),du = integral -2,dxx
u^22 - ln|u| = -2ln|x| + C
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando:
u^2 - 2ln|u| + 4ln|x| = C'

Passo 5

Voltando a y e x com u = tfracyx, tem-se
y^2x^2 - 2ln!l|tfracyxr| + 4ln|x| = C' ;Longrightarrow; y^2x^2 +6ln|x| -2ln|y| = C'

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^2x^2 + 6lnlvert xrvert ;-; 2lnlvert yrvert = C

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