Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas a seguir.
\left(3 x{2}-y{2}\right) d x+\left(x y-x^{3} y^{-1}\right) d y=0
\left(3 x{2}-y{2}\right) d x+\left(x y-x^{3} y^{-1}\right) d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Note que
e
são homogêneas de grau 2, pois
Vamos aplicar o método de equações homogêneas, usando a substituição
.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
No denominador fatoramos
:
Logo
Passo 3
Com a troca
temos
Substituindo na expressão anterior:
Isolando o termo
:
Passo 4
Agora separamos as variáveis e integramos:
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando:
Passo 5
Voltando a
e
com
, tem-se
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por