Calcule
e
para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais para derivar funções que são produtos de outras funções ou que têm funções dentro de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Aqui, queremos ver como
muda quando a gente muda
, mantendo
constante.
A função
é um produto de duas partes:
e
. A regra do produto diz que a derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Ou seja:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Porque
é constante em relação a
.
Segundo termo:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui, queremos ver como
muda quando a gente muda
, mantendo
constante.
Novamente,
é o produto de
e
. Aplicamos a regra do produto:
Vamos calcular cada termo.
Primeiro termo:
Porque a derivada de
em relação a
é
, e
é constante.
Segundo termo:
Novamente, usamos a regra da cadeia.
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e