Calcule partial z / partial x e partial z / partial y para as seguintes funções:
z=(xy) e^x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de z = (xy) e^xy em relação a x e a y . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais para derivar funções que são produtos de outras funções ou que têm funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial zpartial x . Aqui, queremos ver como z muda quando a gente muda x , mantendo y constante.
A função z é um produto de duas partes: xy e e^xy . A regra do produto diz que a derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Ou seja:
partial zpartial x = partialpartial x(xy) cdot e^xy + xy cdot partialpartial x(e^xy)
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro termo:
partialpartial x(xy) = 1y
Porque y é constante em relação a x .
Segundo termo:
partialpartial x(e^xy) = e^xy cdot partialpartial x(xy) = e^xy cdot y = y e^xy
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx , onde u = xy .
Agora, juntando tudo:
partial zpartial x = 1y cdot e^xy + xy cdot y e^xy
Simplificando:
partial zpartial x = e^xyy + x e^xy = e^xy ( 1y + x )

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial y . Aqui, queremos ver como z muda quando a gente muda y , mantendo x constante.
Novamente, z é o produto de xy e e^xy . Aplicamos a regra do produto:
partial zpartial y = partialpartial y(xy) cdot e^xy + xy cdot partialpartial y(e^xy)
Vamos calcular cada termo.
Primeiro termo:
partialpartial y(xy) = -xy^2
Porque a derivada de 1y em relação a y é -1y^2 , e x é constante.
Segundo termo:
partialpartial y(e^xy) = e^xy cdot partialpartial y(xy) = e^xy cdot x = x e^xy
Novamente, usamos a regra da cadeia.
Agora, juntando tudo:
partial zpartial y = -xy^2 cdot e^xy + xy cdot x e^xy
Simplificando:
partial zpartial y = -x e^xyy^2 + x^2 e^xyy = e^xy ( -xy^2 + x^2y )

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^xy ( 1y + x )
e
partial zpartial y = e^xy ( -xy^2 + x^2y )

Exercícios relacionados