Calcule as seguintes
\iint_{R} e^{\frac{x}{y}} d x d y, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leqslant y \leqslant 2, y \leqslant x \leqslant y^{3}\right\};

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy,
onde
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le y\le2,\;y\le x\le y^3\}.
O conteúdo envolve integração iterada e antiderivação de e^{x/y} considerando y constante na integral em x.

Passo 2

Expressamos a integral na ordem dx\,dy:
\int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=y}^{y^3} e^{\frac{x}{y}}\,dx\Bigr)dy.
Aqui, para cada y fixo, calculamos \displaystyle \int e^{\frac{x}{y}}\,dx.

Passo 3

Como y é constante na integração em x, fazemos a antiderivada
\int e^{\frac{x}{y}}\,dx \;=\; y\,e^{\frac{x}{y}} + C,
pois \tfrac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x/y}\bigr)=e^{x/y}. Logo, a integral interna vale
\Bigl[y\,e^{\frac{x}{y}}\Bigr]_{x=y}^{x=y^3} \;=\; y\Bigl(e^{\frac{y^3}{y}}-e^{\frac{y}{y}}\Bigr) \;=\; y\bigl(e^{y^2}-e\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{1}^{2} y\,e^{y^2}\,dy \;-\; e\int_{1}^{2}y\,dy.
Para a primeira parte, use a substituição u=y^2, du=2y\,dy, ou reconheça que
\int y\,e^{y^2}\,dy =\frac12\,e^{y^2}.
Para a segunda parte, é uma integral polinomial simples.

Passo 5

Calculando cada termo:
\int_{1}^{2} y\,e^{y^2}\,dy =\Bigl[\tfrac12\,e^{y^2}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac12\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr),
\int_{1}^{2} y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{4-1}{2}=\tfrac32,
logo
\iint_{R} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy =\tfrac12\bigl(e^{4}-e\bigr)\;-\;e\cdot\tfrac32 =\tfrac{e^{4}}{2}-\tfrac{e}{2}-\tfrac{3e}{2} =\tfrac{e^{4}}{2}-2e.

Resposta

\boxed{\frac{e^{4}}{2}-2e}.

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