Calcule as seguintes
\iint_{R}^{R} \frac{2 y}{x^{2}+1} d x d y, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\right\};

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dx\,dy
sobre a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le \sqrt{x}\}.
Trata-se de uma integral iterada; vamos integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dy\,dx:
\iint_{R} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\Biggl(\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{2y}{x^{2}+1}\,dy\Biggr)dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em relação a y:
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}2y\,dy =\bigl[y^2\bigr]_{0}^{\sqrt{x}} =(\sqrt{x})^2 - 0 = x.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx observamos que \tfrac{d}{dx}\bigl(\ln(x^2+1)\bigr)=\frac{2x}{x^2+1},
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\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac12\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx =\frac12\bigl[\ln(x^2+1)\bigr]_{0}^{1} =\frac12\ln2.

Resposta

\displaystyle \frac12\ln2

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