Calcule as seguintes
\iint x^{3} y^{2} d x d y, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-x \leqslant y \leqslant x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
x^{3}y^{2}
sobre a região
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0 \le x \le 2,\,-x \le y \le x\}.
Como a região é um “tira” em y para cada x, usamos o Teorema de Fubini para escrever
\iint_{R} x^{3}y^{2}\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2} \Bigl(\int_{y=-x}^{x} x^{3}y^{2}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 2

Dentro da integral em y, tratamos x como constante e calculamos
\int_{-x}^{x} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-x}^{x} = \frac{x^{3}-(-x)^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}.
Logo, fica
\int_{y=-x}^{x} x^{3}y^{2}\,dy = x^{3}\cdot \frac{2x^{3}}{3} = \frac{2}{3}\,x^{6}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2} \frac{2}{3}\,x^{6}\,dx = \frac{2}{3}\,\int_{0}^{2} x^{6}\,dx = \frac{2}{3}\,\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{128}{7} = \frac{256}{21}.

Resposta

\iint_{R} x^{3}y^{2}\,dx\,dy = \frac{256}{21}.

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