Carcule \iint_{R} f(x, y) d x d y para:
f(x, y)=y^{3} e^{x y^{2}}, R éo retângulo 0 \leqslant x \leqslant 1,1 \leqslant y \leqslant 2;

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=y^{3}e^{x y^{2}} e o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}.
Precisamos calcular a integral dupla
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy.
Para isso, vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais e, em seguida, técnicas de substituição para cada variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx\Bigr)dy.
Como y é constante na integral interna, podemos escrever
\int_{x=0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx.

Passo 3

Vamos calcular
\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição
u=x y^{2},\quad du=y^{2}\,dx,\quad dx=\frac{du}{y^{2}},
os limites em u vão de 0 (quando x=0) até y^{2} (quando x=1). Então
\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx = \int_{0}^{y^{2}}e^{u}\frac{du}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{y^{2}} = \frac{e^{y^{2}}-1}{y^{2}}.
Multiplicando por y^{3}, obtemos
y^{3}\cdot\frac{e^{y^{2}}-1}{y^{2}} = y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral externa, fica
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \int_{y=1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}}-1\bigr)\,dy = \int_{1}^{2}y e^{y^{2}}\,dy \;-\; \int_{1}^{2}y\,dy.

Passo 5

Para a primeira integral, usamos u=y^{2}, du=2y\,dy. Quando y=1, u=1; quando y=2, u=4. Assim,
\int_{1}^{2}y e^{y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\int_{1}^{4}e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).
Para a segunda integral,
\int_{1}^{2}y\,dy = \Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
Portanto,
\iint_{R}f(x,y)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr) - \frac{3}{2} = \frac{e^{4}-e-3}{2}.

Resposta

\frac{e^{4}-e-3}{2}.

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