Calcule as seguintes integrais:
integral x^2(x^3+1)^34 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2l(x^3+1r)^34,dx
Aqui reconhecemos uma integração por substituição: temos uma função composta l(x^3+1r)^3/4 e vemos x^2,dx que se relaciona com a derivada de x^3+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3 + 1
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du = 3,x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

Em função de u, a integral vira
integral x^2l(x^3+1r)^34,dx = integral u^34cdotdu3 = 13integral u^34,du

Passo 4

Integramos u^3/4 usando a regra de potência:
integral u^34,du = u^7474 = 47,u^74
Multiplicando pelo fator tfrac13, obtemos
13cdot47,u^74 = 421,u^74

Resposta

boxedintegral x^2l(x^3+1r)^34,dx = 421,l(x^3+1r)^74 + C

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