Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma escada de 25 pés encostada na parede de uma casa. A base dessa escada está sendo empurrada para longe da parede a uma taxa de 2 pés por segundo. Neste instante específico, a base está a 7 pés da parede. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo nesse momento.
Para resolver este problema, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática, que nos ajuda a relacionar as taxas de variação de diferentes grandezas que estão conectadas entre si. Além disso, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para estabelecer a relação entre a altura da escada na parede e a distância da base da escada à parede.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a situação com algumas variáveis:
- Seja $ x $ a distância da base da escada à parede.
- Seja $ y $ a altura do topo da escada na parede.
- Sabemos que a escada tem um comprimento constante de 25 pés.
De acordo com o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados de um triângulo retângulo, temos:
Isso porque a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo $ t $. Isso nos ajudará a relacionar as taxas de variação de $ x $ e $ y $:
Derivando cada termo:
Aqui,
representa a taxa de variação da distância da base da escada à parede, e
representa a taxa de variação da altura do topo da escada na parede.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar
, a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos rearranjar a equação para resolver
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de $ y $ quando $ x = 7 $ pés. Usando o Teorema de Pitágoras novamente:
Subtraindo 49 de ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora que temos $ x = 7 $ pés, $ y = 24 $ pés e $\frac{dx}{dt} = 2 $ pés por segundo, podemos substituir esses valores na equação que encontramos para
:
Simplificando a fração:
Resposta
O topo da escada está descendo a uma velocidade de
pés por segundo nesse instante.