Esboce os gráficos das funções abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar os gráficos de duas funções:
- $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $
- $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $
Vamos precisar usar conceitos de funções, como domínio, interceptações, comportamento assintótico, derivadas para achar máximos e mínimos, e entender como a função se comporta no geral, tudo isso para desenhar os gráficos de forma precisa.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função: $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Neste caso, o denominador $ x^2 + 1 $ nunca é zero porque $ x^2 $ é sempre não negativo e somando 1, fica sempre maior que zero. Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
-
Interceptação com o eixo y: Para isso, substituímos $ x = 0 $ na função:Então, a função intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
-
Interceptações com o eixo x: Aqui, buscamos os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $:Então, a única interceptação com o eixo x também é no ponto (0, 0).
Passo 4
Vamos analisar o comportamento assintótico da função. Assintotas são linhas às quais o gráfico se aproxima mas nunca toca.
Para $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $, observamos o comportamento quando $ x $ tende a $ \infty $ e $ -\infty $:
Então, a linha $ y = 0 $ (eixo x) é uma assíntota horizontal.
Passo 5
Vamos derivar a função para encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de $ f(x) $ é:
Igualando a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Então, temos possíveis máximos ou mínimos em $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Calculando $ f(1) $ e $ f(-1) $:
Assim, a função tem um ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e um ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $.
Passo 6
Vamos resumir o comportamento da função $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $:
- Domínio: Todos os reais.
- Interceptações no ponto (0, 0).
- Assíntota horizontal em $ y = 0 $.
- Ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $.
- A função é simétrica em relação à origem (função ímpar).
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda função: $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $
Primeiro, determinamos o domínio. O logaritmo natural $ \ln(u) $ está definido para $ u > 0 $. Aqui, $ x^2 + 1 $ é sempre maior que zero, então o domínio é todos os reais.
Passo 8
Vamos achar as interceptações:
-
Interceptação com o eixo y: Substituímos $ x = 0 $:Então, intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
-
Interceptações com o eixo x: Buscamos $ f(x) = 0 $:A única interceptação com o eixo x é no ponto (0, 0).
Passo 9
Analisando o comportamento assintótico:
Para $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $, quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $:
Então, não há assíntotas horizontais. A função cresce indefinidamente conforme $ |x| $ aumenta.
Passo 10
Vamos derivar a função para encontrar os pontos de mínimo ou máximo.
A derivada de $ f(x) $ é:
Igualando a derivada a zero:
Calculando $ f(0) = 0 $. Para verificar se é mínimo ou máximo, vemos que para $ x > 0 $, $ f’(x) > 0 $ e para $ x < 0 $, $ f’(x) < 0 $. Portanto, $ x = 0 $ é um ponto mínimo.
Passo 11
Resumindo o comportamento da função $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $:
- Domínio: Todos os reais.
- Interceptação no ponto (0, 0).
- Sem assíntotas horizontais.
- Ponto mínimo em $ (0, 0) $.
- A função é simétrica em relação ao eixo y (função par).
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico.
Resposta
O gráfico da função $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $ possui interceptação no ponto (0, 0), assíntota horizontal em $ y = 0 $, e apresenta um ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e um ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $. Já o gráfico da função $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ intercepta o eixo no ponto (0, 0), não possui assíntotas horizontais e tem um ponto mínimo em $ (0, 0) $. Ambos os gráficos são simétricos, sendo o primeiro ímpar e o segundo par.