Esboce os gráficos das funções abaixo:
(1) f(x)=xx^2+1
(2) f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar os gráficos de duas funções:
  1. $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $
  2. $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $
Vamos precisar usar conceitos de funções, como domínio, interceptações, comportamento assintótico, derivadas para achar máximos e mínimos, e entender como a função se comporta no geral, tudo isso para desenhar os gráficos de forma precisa.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Neste caso, o denominador $ x^2 + 1 $ nunca é zero porque $ x^2 $ é sempre não negativo e somando 1, fica sempre maior que zero. Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo y: Para isso, substituímos $ x = 0 $ na função:
    x = 0
    Então, a função intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
  • Interceptações com o eixo x: Aqui, buscamos os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $:
    f(0) = 00^2 + 1 = 0
    Então, a única interceptação com o eixo x também é no ponto (0, 0).

Passo 4

Vamos analisar o comportamento assintótico da função. Assintotas são linhas às quais o gráfico se aproxima mas nunca toca.
Para $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $, observamos o comportamento quando $ x $ tende a $ \infty $ e $ -\infty $:
Então, a linha $ y = 0 $ (eixo x) é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos derivar a função para encontrar os pontos de máximo e mínimo.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Igualando a derivada a zero para achar os pontos críticos:
f'(x) = (1)(x^2 + 1) - x(2x)(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1 - 2x^2(x^2 + 1)^2 = -x^2 + 1(x^2 + 1)^2
Então, temos possíveis máximos ou mínimos em $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Calculando $ f(1) $ e $ f(-1) $:
-x^2 + 1 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Assim, a função tem um ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e um ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $.

Passo 6

Vamos resumir o comportamento da função $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Interceptações no ponto (0, 0).
  • Assíntota horizontal em $ y = 0 $.
  • Ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $.
  • A função é simétrica em relação à origem (função ímpar).
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda função: $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $
Primeiro, determinamos o domínio. O logaritmo natural $ \ln(u) $ está definido para $ u > 0 $. Aqui, $ x^2 + 1 $ é sempre maior que zero, então o domínio é todos os reais.

Passo 8

Vamos achar as interceptações:
  • Interceptação com o eixo y: Substituímos $ x = 0 $:
    x = 0
    Então, intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
  • Interceptações com o eixo x: Buscamos $ f(x) = 0 $:
    f(0) = ln(0^2 + 1) = ln(1) = 0
    A única interceptação com o eixo x é no ponto (0, 0).

Passo 9

Analisando o comportamento assintótico:
Para $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $, quando $ x $ tende a $ \infty $ ou $ -\infty $:
f(x) = ln(x^2 + 1)
Então, não há assíntotas horizontais. A função cresce indefinidamente conforme $ |x| $ aumenta.

Passo 10

Vamos derivar a função para encontrar os pontos de mínimo ou máximo.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Igualando a derivada a zero:
f'(x) = 2xx^2 + 1
Calculando $ f(0) = 0 $. Para verificar se é mínimo ou máximo, vemos que para $ x > 0 $, $ f’(x) > 0 $ e para $ x < 0 $, $ f’(x) < 0 $. Portanto, $ x = 0 $ é um ponto mínimo.

Passo 11

Resumindo o comportamento da função $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Interceptação no ponto (0, 0).
  • Sem assíntotas horizontais.
  • Ponto mínimo em $ (0, 0) $.
  • A função é simétrica em relação ao eixo y (função par).
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico.

Resposta

O gráfico da função $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $ possui interceptação no ponto (0, 0), assíntota horizontal em $ y = 0 $, e apresenta um ponto máximo em $ (1, \frac{1}{2}) $ e um ponto mínimo em $ (-1, -\frac{1}{2}) $. Já o gráfico da função $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ intercepta o eixo no ponto (0, 0), não possui assíntotas horizontais e tem um ponto mínimo em $ (0, 0) $. Ambos os gráficos são simétricos, sendo o primeiro ímpar e o segundo par.

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