Calcule as seguintes integrais:
integral3 / 2^4(x^2-1)(x^2+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral32^4 (x^2 - 1)(x^2 + x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Isso significa multiplicar (x^2 - 1) por (x^2 + x). Vamos fazer isso passo a passo:
(x^2 - 1)(x^2 + x) = x^2 cdot x^2 + x^2 cdot x - 1 cdot x^2 - 1 cdot x
Calculando cada termo:
x^2 cdot x^2 = x^4
x^2 cdot x = x^3
-1 cdot x^2 = -x^2
-1 cdot x = -x
Então, a expressão simplificada fica:
x^4 + x^3 - x^2 - x

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, a integral fica:
integral32^4 (x^4 + x^3 - x^2 - x) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando essa regra a cada termo:
  1. integral x^4 , dx = x^55
  2. integral x^3 , dx = x^44
  3. integral -x^2 , dx = -x^33
  4. integral -x , dx = -x^22
Então, a integral inteira fica:
x^55 + x^44 - x^33 - x^22

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir x = 4 e x = 32 e calcular a diferença.
Primeiro, para x = 4:
4^55 + 4^44 - 4^33 - 4^22
Calculando cada termo:
10245 + 2564 - 643 - 162 = 204.8 + 64 - 213 - 8 = 239.466
Segundo, para x = 32:
(32)^55 + (32)^44 - (32)^33 - (32)^22
Calculando cada termo:
243325 + 81164 - 2783 - 942 = 243160 + 8164 - 2724 - 98 approx 1.51875 + 1.265625 - 1.125 - 1.125 = 0.534375

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
239.466 - 0.534375 approx 238.932
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 238.932.

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