Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
y(x)=x^3+x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função $ y(x) = x^{3} + x^{2} + 4 $. Isso significa que vamos procurar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ y(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função original é:
y(x)
Calculando a derivada:
y(x) = x^3 + x^2 + 4
y'(x) = ddx(x^3) + ddx(x^2) + ddx(4)
y'(x) = 3x^2 + 2x + 0

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:
3x^2 + 2x = 0
Podemos fatorar:
x(3x + 2) = 0
Então, as soluções são:
x = 0
3x + 2 = 0 Rightarrow x = -23

Passo 4

Temos dois pontos críticos: $ x = 0 $ e $ x = -\frac{2}{3} $. Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
x = 0
x = -23

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
  1. Para $ x = 0 $:
x = 0
Como $ y’’(0) > 0 $, isso indica que a função tem um mínimo local em $ x = 0 $.
  1. Para $ x = -\frac{2}{3} $:
y''(0) = 6(0) + 2 = 2
Como $ y’’\left(-\frac{2}{3}\right) < 0 $, isso indica que a função tem um máximo local em $ x = -\frac{2}{3} $.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor da função nesses pontos:
  1. Para $ x = 0 $:
x = 0
  1. Para $ x = -\frac{2}{3} $:
y(0) = (0)^3 + (0)^2 + 4 = 4
x = -23
y(-23) = (-23)^3 + (-23)^2 + 4
y(-23) = -827 + 49 + 4

Resposta

A função $ y(x) = x^{3} + x^{2} + 4 $ tem:
  • Um máximo local em $ x = -\frac{2}{3} $ com valor $ y = \frac{112}{27} $.
  • Um mínimo local em $ x = 0 $ com valor $ y = 4 $.

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