Encontre os extremos relativos das seguintes funções avaliando se se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão. Informe o valor da função no extremo. Caso não exista ponto crítico, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função $ y(x) = x^{3} + x^{2} + 4 $. Isso significa que vamos procurar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ y(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo.
A função original é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Temos dois pontos críticos: $ x = 0 $ e $ x = -\frac{2}{3} $. Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para $ x = 0 $:
Como $ y’’(0) > 0 $, isso indica que a função tem um mínimo local em $ x = 0 $.
- Para $ x = -\frac{2}{3} $:
Como $ y’’\left(-\frac{2}{3}\right) < 0 $, isso indica que a função tem um máximo local em $ x = -\frac{2}{3} $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor da função nesses pontos:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = -\frac{2}{3} $:
Resposta
A função $ y(x) = x^{3} + x^{2} + 4 $ tem:
- Um máximo local em $ x = -\frac{2}{3} $ com valor $ y = \frac{112}{27} $.
- Um mínimo local em $ x = 0 $ com valor $ y = 4 $.