Desenhe as curvas de nível correspondentes aos valores dados de c.
f(x, y)=cos (x+y), c=-1,0, 12, raiz22, 1.

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos as curvas de nível de
f(x,y)=cos(x+y)
para os valores de c=-1,0,tfrac12,tfracraiz22,1.
O conteúdo aqui é entender que uma curva de nível de f para valor c é o conjunto
(x,y)mid f(x,y)=c,
isto é, soluções de cos(x+y)=c.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação geral
cos(x+y)=c
Como costheta=c implica
theta= arccos(c)+2pi k ou theta=-arccos(c)+2pi k,
para kinZ, temos aqui
x+y=arccos(c)+2pi k ou x+y=-arccos(c)+2pi k
Cada uma dessas equações descreve uma reta de coeficiente angular -1.

Passo 3

Agora, para cada valor de c, determinamos arccos(c) (no ramo principal em [0,pi]):
c=1:& arccos(1)=0, c=tfracraiz22:& arccos!l(tfracraiz22r)=tfracpi4, c=tfrac12:& arccos!l(tfrac12r)=tfracpi3, c=0:& arccos(0)=tfracpi2, c=-1:& arccos(-1)=pi

Passo 4

Substituindo em x+y=pmarccos(c)+2pi k, obtemos as famílias de retas:
  1. Para c=1:
x+y=0+2pi k(kinZ)
  1. Para c=tfracraiz22:
x+y=pmtfracpi4+2pi k
  1. Para c=tfrac12:
x+y=pmtfracpi3+2pi k
  1. Para c=0:
x+y=tfracpi2+pi k (note que aqui as duas escolhas (pmpi/2) dão a mesma família com passo (pi)) ãí
  1. Para c=-1:
x+y=pi+2pi k
Cada uma dessas retas é uma curva de nível: são retas paralelas de inclinação -1 espaçadas periodicamente.

Resposta

As curvas de nível cos(x+y)=c são as retas
c=1:& x+y=2pi k, c=tfracraiz22:& x+y=pmtfracpi4+2pi k, c=tfrac12:& x+y=pmtfracpi3+2pi k, c=0:& x+y=tfracpi2+pi k, c=-1:& x+y=pi+2pi k,
com kinZ. Cada família é um feixe de retas de coeficiente angular -1.

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