Esboce e encontre a área da região R onde R é a região limitada entre os gráficos de: y=x^2-1 e y=x+5

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região R limitada entre as curvas
y = x^2 - 1
e
y = x + 5
Isso envolve o conteúdo de área entre duas curvas: primeiro achamos os pontos de interseção, depois identificamos qual função fica por cima, e então integramos a diferença entre elas.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção igualamos
x^2 - 1 = x + 5
e obtemos
x^2 - x - 6 = 0 Longrightarrow x = 1pmraiz1+242 = -2,;3

Passo 3

No esboço, a parábola y = x^2 - 1 abre para cima com vértice em (0,-1), e a reta y = x + 5 tem inclinação positiva e intercepta o eixo y em (0,5). Entre x=-2 e x=3 a reta está acima da parábola, formando a região R.

Passo 4

A área entre duas curvas de x=a até x=b é
A = integrala^b l(superior - inferiorr),dx
Aqui, de -2 a 3, a reta x+5 é a superior e x^2-1 a inferior. Logo
A = integral-2^3l[(x+5)-(x^2-1)r],dx = integral-2^3(-x^2 + x + 6),dx

Passo 5

Calculamos a primitiva:
integral(-x^2 + x + 6),dx = -x^33 + x^22 + 6x
Avaliando de -2 a 3:
A = (-3^33 + 3^22 + 6cdot3) - (-(-2)^33 + (-2)^22 + 6cdot(-2)) = 1256

Resposta

1256

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