Encontre f^prime(x) onde: f(x)=integral-sen^2(x)^x^4 cos (t^3) d t

Passo 1

O enunciado define \r
f(x)=integral-sin^2(x)^,x^4cosl(t^3r),dt \r
e pede f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites de integração que dependem de x, usando a regra de diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz).

Passo 2

Identificamos os limites de integração como funções de x:\r
a(x)=-sin^2(x), b(x)=x^4 \r
Agora calculamos as derivadas:\r
a'(x)=ddxl(-sin^2(x)r)=-2sin(x)cos(x)=-sin(2x), b'(x)=ddxl(x^4r)=4x^3

Passo 3

Pela regra de Leibniz, a derivada de \r
integrala(x)^,b(x)cos(t^3),dt é\r
f'(x) =cosl(b(x)^3r),b'(x) -cosl(a(x)^3r),a'(x)

Passo 4

Substituindo b(x)=x^4 e a(x)=-sin^2(x):\r
b(x)^3=(x^4)^3=x^12, a(x)^3=l(-sin^2(x)r)^3=-sin^6(x) \r
Como cos é função par, cos(-sin^6(x))=cos(sin^6(x)). Logo,\r
f'(x) = cosl(x^12r)cdot 4x^3 - cosl(-sin^6(x)r)cdotl(-sin(2x)r) =4x^3cos(x^12)+sin(2x),cos(sin^6(x))

Resposta

f'(x)=4x^3cosl(x^12r)+sin(2x),cosl(sin^6(x)r)

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