Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 xx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de xx^2 + 1 de 0 a 1. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição (u-substituição) para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando o denominador x^2 + 1 , percebemos que a derivada dele é 2x , que está relacionada ao numerador x . Isso é uma dica de que a u-substituição vai funcionar bem aqui.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2 + 1 . Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du :
du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral0^1 xx^2 + 1 , dx = integralu(0)^u(1) 12 cdot 1u , du
Aqui, u(0) = 0^2 + 1 = 1 e u(1) = 1^2 + 1 = 2 . Então, a integral fica:
12 integral1^2 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é ln|u| . Então, resolvendo:
12 [ ln|u| ]1^2 = 12 (ln 2 - ln 1)
Sabemos que ln 1 = 0 , então:
12 ln 2

Resposta

A integral integral0^1 xx^2+1 , dx é igual a 12 ln 2 .

Exercícios relacionados