Determine a solução do PVI:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, especificamente métodos de integração direta. Precisamos integrar para achar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
sozinho:
Isso facilita porque agora temos
igual a uma função de
, e podemos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos integrar o lado direito:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integra de
:
- Integra de
:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo
na equação:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: