Determine a solução do PVI:
y^prime+2t=t^3;
y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que é assim:
y^prime + 2t = t^3
com a condição inicial y(1) = 2. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem, especificamente métodos de integração direta. Precisamos integrar para achar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar y' sozinho:
y^prime = t^3 - 2t
Isso facilita porque agora temos y' igual a uma função de t , e podemos integrar ambos os lados em relação a t para encontrar y(t) .

Passo 3

Agora, vamos integrar o lado direito:
y(t) = integral ( t^3 - 2t ) dt + C
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integra de t^3 :
integral t^3 dt = t^44
  1. Integra de -2t :
integral -2t dt = -2 ln |t|
Então, juntando tudo:
y(t) = t^44 - 2 ln |t| + C

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 2 para encontrar C :
Substituindo t = 1 na equação:
2 = 1^44 - 2 ln 1 + C
Sabemos que ln 1 = 0 , então:
2 = 14 + C
Resolvendo para C :
C = 2 - 14 = 84 - 14 = 74

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = t^44 - 2 ln t + 74

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