Em coordenadas cartesianas, um ponto se escreve como P=(-raiz2 / 2, raiz2 / 2, raiz2). Como sc escreve esse mesmo ponto em coordenadas cilindricas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto P nas coordenadas cartesianas dado por P = (-raiz22, raiz22, raiz2). Nosso objetivo é transformar essas coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar saber como converter de (x, y, z) para (r, theta, z).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de r, que representa a distância do ponto até o eixo z. A fórmula para r em coordenadas cilíndricas é:
r = raizx^2 + y^2
Vamos substituir os valores de x e y:
r = raiz(-raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
Então, r = 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Esse ângulo é medido a partir do eixo positivo x até a projeção do ponto no plano xy. A fórmula é:
theta = arctan(yx)
Substituindo os valores de x e y:
theta = arctan(raiz22-raiz22) = arctan(-1)
O valor de arctan(-1) é -pi4, mas precisamos considerar em qual quadrante o ponto está. Como x é negativo e y é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos pi para ajustar o ângulo:
theta = pi - pi4 = 3pi4
Então, theta = 3pi4 radianos.

Passo 4

Por fim, o valor de z nas coordenadas cilíndricas é o mesmo que nas cartesianas. Então, z = raiz2.

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto P são (1, 3pi4, raiz2).

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