Em coordenadas cartesianas, um ponto se escreve como . Como sc escreve esse mesmo ponto em coordenadas cilindricas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto nas coordenadas cartesianas dado por . Nosso objetivo é transformar essas coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar saber como converter de para .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de , que representa a distância do ponto até o eixo . A fórmula para em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir os valores de e :
Então, r = 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Esse ângulo é medido a partir do eixo positivo x até a projeção do ponto no plano xy. A fórmula é:
theta = arctan(yx)
Substituindo os valores de x e y:
theta = arctan(raiz22-raiz22) = arctan(-1)
O valor de arctan(-1) é -pi4, mas precisamos considerar em qual quadrante o ponto está. Como x é negativo e y é positivo, o ponto está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos pi para ajustar o ângulo:
theta = pi - pi4 = 3pi4
Então, theta = 3pi4 radianos.
Passo 4
Por fim, o valor de z nas coordenadas cilíndricas é o mesmo que nas cartesianas. Então, z = raiz2.
Resposta
As coordenadas cilíndricas do ponto P são (1, 3pi4, raiz2).