Encontre o volume,
, do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
e
torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que nos foram dadas. A curva
é uma parábola que abre para baixo, e a reta
é uma linha horizontal. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre
e
, a parábola
está acima da reta
. Ao girar essa região em torno do eixo
, vamos formar um sólido com a forma de um anel ou “anel de revolução”.
Passo 5
Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula é:
onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Passo 6
No nosso caso, o raio externo
é a distância da parábola ao eixo
, que é
, e o raio interno
é a distância da reta
ao eixo
:
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 10
Vamos calcular nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação das curvas
e
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.