Encontre o volume, V, do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
y=6-x^2 e y=2 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas y = 6 - x^2 e y = 2 é girada em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que nos foram dadas. A curva y = 6 - x^2 é uma parábola que abre para baixo, e a reta y = 2 é uma linha horizontal. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
6 - x^2 = 2
Resolvendo:
- x^2 = 2 - 6 - x^2 = -4 x^2 = 4 x = pm 2
Então, as curvas se encontram nos pontos x = -2 e x = 2 .

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre x = -2 e x = 2 , a parábola y = 6 - x^2 está acima da reta y = 2 . Ao girar essa região em torno do eixo x , vamos formar um sólido com a forma de um anel ou “anel de revolução”.

Passo 5

Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula é:
V = pi integrala^b ( R(x)^2 - r(x)^2 ) dx
onde R(x) é o raio externo e r(x) é o raio interno.

Passo 6

No nosso caso, o raio externo R(x) é a distância da parábola ao eixo x , que é 6 - x^2 , e o raio interno r(x) é a distância da reta y = 2 ao eixo x :
R(x) = 6 - x^2 r(x) = 2

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral-2^2 ( (6 - x^2)^2 - (2)^2 ) dx

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(6 - x^2)^2 = 36 - 12x^2 + x^4 (2)^2 = 4 Rightarrow (6 - x^2)^2 - 4 = 36 - 12x^2 + x^4 - 4 = x^4 - 12x^2 + 32
Então, a integral fica:
V = pi integral-2^2 ( x^4 - 12x^2 + 32 ) dx

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^4 dx = x^55 integral -12x^2 dx = -12 cdot x^33 = -4x^3 integral 32 dx = 32x
Portanto:
V = pi [ x^55 - 4x^3 + 32x ]-2^2

Passo 10

Vamos calcular nos limites de integração x = 2 e x = -2 :
Para x = 2 :
2^55 - 4(2)^3 + 32(2) = 325 - 32 + 64 = 325 + 32 = 32 + 1605 = 1925
Para x = -2 :
(-2)^55 - 4(-2)^3 + 32(-2) = -325 - (-32) - 64 = -325 + 32 - 64 = -32 + 160 - 3205 = -1925

Passo 11

Subtraindo os valores:
( 1925 ) - ( -1925 ) = 1925 + 1925 = 3845
Então, o volume é:
V = pi cdot 3845 = 384pi5

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação das curvas y = 6 - x^2 e y = 2 em torno do eixo x é 384pi5 unidades cúbicas.

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