Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 8(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral definida
integral0^18l(x^2+1r)^2,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição trigonométrica, pois a presença de x^2+1 sugere a mudança x=tantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta, x^2+1 = sec^2theta,
vemos que
8(x^2+1)^2,dx =8,1sec^4theta,sec^2theta,dtheta =8cos^2theta,dtheta
Os novos limites são: quando x=0, theta=0; quando x=1, theta=pi/4.

Passo 3

Calculamos agora
integral 8cos^2theta,dtheta
Usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2,
logo
8cos^2theta = 4l(1+cos2thetar)
Portanto
integral 8cos^2theta,dtheta =4integrall(1+cos2thetar),dtheta =4l(theta + tfrac12sin2thetar)+C =4theta + 2sin2theta + C
Como sin2theta = 2sinthetacostheta, isso fica
4theta + 2,(2sinthetacostheta) =4theta + 4sinthetacostheta

Passo 4

Voltando à variável x:
theta = arctan x,
sintheta = dfracxraizx^2+1,
costheta = dfrac1raizx^2+1.
Logo
4theta + 4sinthetacostheta =4arctan x + 4,xx^2+1
Então a antiderivada é
integral 8(x^2+1)^2,dx =4arctan x + 4xx^2+1 + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
[,4arctan x + 4xx^2+1]0^1 = l(4cdotpi4 + 4cdot12r) - l(4cdot0 + 0r) = pi + 2

Resposta

pi + 2

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