4- Dada a hélice circular de equação r(t)=3 cos t i+3 sent j+4 t k, determine os vetores Tangente, normal e binormal e t=pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hélice circular dada pela equação vetorial r(t) = 3 cos t , i + 3 sin t , j + 4 t , k . O objetivo é encontrar os vetores tangente, normal e binormal nesse ponto quando t = pi .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivados de funções vetoriais e a triade de Frenet (vetor tangente, normal e binormal).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente T(t) . O vetor tangente é a derivada da função posição r(t) em relação a t , normalizado para ter comprimento 1.
Vamos calcular a derivada de r(t) :
r'(t) = ddt [3 cos t , i + 3 sin t , j + 4 t , k] = -3 sin t , i + 3 cos t , j + 4 , k

Passo 3

Agora, precisamos normalizar r'(t) para obter o vetor tangente unitário T(t) . Para isso, calculamos o comprimento de r'(t) :
| r'(t) | = raiz(-3 sin t)^2 + (3 cos t)^2 + 4^2 = raiz9 sin^2 t + 9 cos^2 t + 16 = raiz9(sin^2 t + cos^2 t) + 16 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o vetor tangente unitário é:
T(t) = r'(t)| r'(t) | = -3 sin t , i + 3 cos t , j + 4 , k5

Passo 4

Agora vamos encontrar o vetor normal N(t) . Para isso, precisamos derivar T(t) em relação a t e depois normalizar.
Primeiro, derivamos T(t) :
T'(t) = ddt ( -3 sin t5 , i + 3 cos t5 , j + 45 , k ) = -3 cos t5 , i - 3 sin t5 , j + 0 , k
Agora, calculamos o comprimento de T'(t) :
| T'(t) | = raiz( -3 cos t5 )^2 + ( -3 sin t5 )^2 = raiz9 cos^2 t25 + 9 sin^2 t25 = raiz9(cos^2 t + sin^2 t)25 = raiz925 = 35
Então, o vetor normal unitário é:
N(t) = T'(t)| T'(t) | = -3 cos t5 , i - 3 sin t5 , j35 = -cos t , i - sin t , j

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o vetor binormal B(t) . O vetor binormal é o produto vetorial entre T(t) e N(t) :
B(t) = T(t) times N(t)
Usando os vetores que já encontramos:
T(t) = -3 sin t5 , i + 3 cos t5 , j + 45 , k
N(t) = -cos t , i - sin t , j
Calculando o produto vetorial:
B(t) = i & j & k -3 sin t5 & 3 cos t5 & 45 -cos t & -sin t & 0
= i ( 3 cos t5 cdot 0 - 45 cdot (-sin t) ) - j ( -3 sin t5 cdot 0 - 45 cdot (-cos t) ) + k ( -3 sin t5 cdot (-sin t) - 3 cos t5 cdot (-cos t) )
Simplificando:
= i ( 4 sin t5 ) - j ( 4 cos t5 ) + k ( 3 sin^2 t5 + 3 cos^2 t5 )
= 4 sin t5 , i - 4 cos t5 , j + 3 (sin^2 t + cos^2 t)5 , k
= 4 sin t5 , i - 4 cos t5 , j + 35 , k

Passo 6

Agora que temos T(t) , N(t) e B(t) , vamos avaliar todos em t = pi .
Primeiro, calculamos cos pi = -1 e sin pi = 0 .
Então:
T(pi) = -3 cdot 05 , i + 3 cdot (-1)5 , j + 45 , k = 0 , i - 35 , j + 45 , k
N(pi) = -(-1) , i - 0 , j = i
B(pi) = 4 cdot 05 , i - 4 cdot (-1)5 , j + 35 , k = 0 , i + 45 , j + 35 , k

Resposta

Os vetores tangente, normal e binormal em t = pi são:
T(pi) = 0 , i - 35 , j + 45 , k
N(pi) = i
B(pi) = 0 , i + 45 , j + 35 , k

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