4- Dada a hélice circular de equação , determine os vetores Tangente, normal e binormal e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hélice circular dada pela equação vetorial . O objetivo é encontrar os vetores tangente, normal e binormal nesse ponto quando .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivados de funções vetoriais e a triade de Frenet (vetor tangente, normal e binormal).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente . O vetor tangente é a derivada da função posição em relação a , normalizado para ter comprimento 1.
Vamos calcular a derivada de :
Passo 3
Agora, precisamos normalizar para obter o vetor tangente unitário . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Agora vamos encontrar o vetor normal . Para isso, precisamos derivar em relação a e depois normalizar.
Primeiro, derivamos :
Agora, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o vetor binormal . O vetor binormal é o produto vetorial entre e :
Usando os vetores que já encontramos:
Calculando o produto vetorial:
= i ( 3 cos t5 cdot 0 - 45 cdot (-sin t) ) - j ( -3 sin t5 cdot 0 - 45 cdot (-cos t) ) + k ( -3 sin t5 cdot (-sin t) - 3 cos t5 cdot (-cos t) )
Simplificando:
= i ( 4 sin t5 ) - j ( 4 cos t5 ) + k ( 3 sin^2 t5 + 3 cos^2 t5 )
= 4 sin t5 , i - 4 cos t5 , j + 3 (sin^2 t + cos^2 t)5 , k
= 4 sin t5 , i - 4 cos t5 , j + 35 , k
Passo 6
Agora que temos T(t) , N(t) e B(t) , vamos avaliar todos em t = pi .
Primeiro, calculamos cos pi = -1 e sin pi = 0 .
Então:
T(pi) = -3 cdot 05 , i + 3 cdot (-1)5 , j + 45 , k = 0 , i - 35 , j + 45 , k
N(pi) = -(-1) , i - 0 , j = i
B(pi) = 4 cdot 05 , i - 4 cdot (-1)5 , j + 35 , k = 0 , i + 45 , j + 35 , k
Resposta
Os vetores tangente, normal e binormal em t = pi são: