Calcule as seguintes integrais:
integral2^4 xraizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral2^4 xraizx^2-1 , dx . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente utilizando substituição trigonométrica ou uma substituição mais simples. Vamos precisar usar algumas técnicas de substituição para simplificar a expressão e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o integrando é xraizx^2-1 . Uma boa estratégia aqui é usar substituição, onde a gente deixa uma parte da expressão igual a uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = x^2 - 1 . Assim, a gente tem que derivar u em relação a x :
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx

Passo 4

Agora, vamos substituir u na integral original. A expressão raizx^2-1 vira raizu , e x , dx vira du2 . Portanto, a integral fica:
integral xraizx^2-1 , dx = integral du2raizu = 12 integral u^-1/2 , du

Passo 5

Vamos agora integrar u^-1/2 . A antiderivada de u^n é u^n+1n+1 , desde que n neq -1 . Então:
12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot ( 2u^1/2 ) + C = u^1/2 + C

Passo 6

Substituindo de volta u = x^2 - 1 , temos:
u^1/2 = raizx^2 - 1

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 4:
[ raizx^2 - 1 ]2^4 = raiz4^2 - 1 - raiz2^2 - 1 = raiz16 - 1 - raiz4 - 1 = raiz15 - raiz3

Resposta

A integral integral2^4 xraizx^2-1 , dx é igual a raiz15 - raiz3 .

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