Sobre resolução de sistemas lineares utilizando o método de Gauss-Seidel, descreva como obter uma solução aproximada para um sistema linear de ordem 3.
Obs.: escreva, com palavras, os passos usados para resolver, todas as etapas.
Obs.: escreva, com palavras, os passos usados para resolver, todas as etapas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descrever como a gente pode encontrar uma solução aproximada pra um sistema de três equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa que ajuda a resolver sistemas de equações quando eles são grandes ou complicados demais para resolver de jeito direto. A gente vai precisar entender como rearranjar as equações e fazer cálculos repetidos até chegar numa resposta que esteja boa o suficiente.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa escrever o sistema de forma que, em cada equação, uma das incógnitas esteja isolada. Por exemplo, se temos três equações com as incógnitas
,
e
, vamos reorganizar cada uma dessas equações para que
,
e
fiquem sozinhas de um lado da igualdade. Isso facilita na hora de aplicar as iterações do método.
Passo 3
Depois, escolhemos valores iniciais para cada uma das incógnitas. Esses valores podem ser quaisquer números, mas geralmente a gente escolhe zero ou alguma estimativa razoável com base no sistema. Esses valores iniciais serão a nossa primeira aproximação.
Passo 4
Agora, começamos as iterações. A gente vai substituir os valores que escolhemos nos passos anteriores nas equações rearranjadas. Por exemplo, para encontrar uma nova estimativa de
, usamos a equação que isola
e substituímos os valores atuais de
e
. A gente faz isso de forma sequencial para
e
também, sempre usando os valores mais recentes que temos.
Passo 5
Repetimos esse processo de substituição várias vezes, atualizando os valores de
,
e
a cada iteração. A cada passo, a gente espera que os valores se aproximem mais da solução exata do sistema. Continuamos iterando até que a mudança entre as aproximações consecutivas seja menor que um erro aceitável que a gente definiu antes.
Resposta
Seguindo esses passos, usando o método de Gauss-Seidel de forma iterativa e atualizando as estimativas de
,
e
a cada passo, a gente consegue chegar numa solução aproximada para o sistema linear de ordem 3.