Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi(cos (x))^3(sen(x)) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral definida
integral0^pi(cos(x))^3,sin(x),dx
e pede seu valor numérico. O conteúdo aqui é integração por substituição: reconhecer que a derivada de cos(x) envolve sin(x), de modo a simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos(x), du = -sin(x),dx
Logo sin(x),dx = -du. Em x=0 temos u(0)=cos(0)=1 e em x=pi temos u(pi)=cos(pi)=-1. Assim a integral torna-se
integral0^pi(cos(x))^3,sin(x),dx = integralu=1^u=-1u^3,(-du) = -integral1^-1u^3,du

Passo 3

Invertendo os limites para retirar o sinal negativo, obtemos
-integral1^-1u^3,du = integral-1^1u^3,du
Agora calculamos a antiderivada de u^3:
integral u^3,du = u^44

Passo 4

Aplicando os limites em u^44, temos
integral-1^1u^3,du = [u^44]-1^1 = (1)^44-(-1)^44 = 14-14 = 0

Resposta

0

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