Calcule as seguintes integrais:
integral0^infty 2 xe^4 x d x ou integral 1raizx^2-1 d x (escolher uma das integrais)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1raizx^2-1,dx
Este é um caso clássico de integração com radical do tipo raizx^2-a^2. A estratégia mais comum é usar substituição trigonométrica, aproveitando a identidade sec^2theta-1=tan^2theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = sectheta, x>=1,
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dx = secthetatantheta,dtheta e raizx^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta
Substituindo na integral, temos
integral 1raizx^2-1,dx = integral 1tantheta;l(secthetatantheta,dthetar) = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Agora integramos integral sectheta,dtheta. A primitiva conhecida é
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Retornamos à variável x. Da substituição temos sectheta = x e tantheta = raizx^2-1. Portanto
integral 1raizx^2-1,dx = ln!l|x + raizx^2-1r| + C

Resposta

boxedintegral 1raizx^2-1,dx = ln!l|x + raizx^2-1r| + C

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