Utilize o Teorema fundamental do Cálculo, determine a derivada da função da função
g(x)=integral1-3 x^1+3 x t^2t^2+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral:
g(x) = integral1 - 3x^1 + 3x t^2t^2 + 1 , dt
O objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a x . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar integrais com limites que dependem de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo: se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de x , a derivada dessa função é dada pela diferença entre a função integrando avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite e a função integrando avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada desse limite. Em fórmula:
ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, identificamos:
  • f(t) = t^2t^2 + 1
  • Limite inferior a(x) = 1 - 3x
  • Limite superior b(x) = 1 + 3x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites em relação a x :
  • a'(x) = ddx(1 - 3x) = -3
  • b'(x) = ddx(1 + 3x) = 3

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula do teorema:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Então,
g'(x) = (1 + 3x)^2(1 + 3x)^2 + 1 cdot 3 - (1 - 3x)^2(1 - 3x)^2 + 1 cdot (-3)

Passo 6

Simplificando:
g'(x) = 3 cdot (1 + 3x)^2(1 + 3x)^2 + 1 + 3 cdot (1 - 3x)^2(1 - 3x)^2 + 1

Resposta

A derivada da função g(x) é:
g'(x) = 3 cdot (1 + 3x)^2(1 + 3x)^2 + 1 + 3 cdot (1 - 3x)^2(1 - 3x)^2 + 1

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